一、单选题

1、设 A, P 均为 3 阶矩阵，$P^T$ 为 P 的转置矩阵，且 $P^TAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，若 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3), Q = (\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2, \alpha_3)$，则 $Q^TAQ$ 为（） {{ select(1) }}

• $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

2、设 $P(A) = 0.3, P(B|A) = 0.6, P(B|\neg A) = 0.2$，则 $P(A|B)$ 的值为 {{ select(2) }}

• 0.36
• 0.56
• 0.72
• 0.18

3、已知函数 $f(x)=x^2$，用中心差分公式 $f'(x)\approx\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$，取步长 $h=0.1$，计算 $f'(1)$ 数值结果为： {{ select(3) }}

• 1.8
• 2.2
• 2.0
• 2.4

4、设 $\hat{\theta} = \hat{\theta}(X_1, X_2 \dots \dots X_n)$ 是基于随机样本 $X_1, X_2 \dots \dots X_n$ 构造的未知参数 $\theta$ 的一个估计量，若 $\hat{\theta}$ 满足以下条件（）时，则称 $\hat{\theta}$是 $\theta$ 的无偏估计 {{ select(4) }}

• $\hat{\theta} = \theta$
• $E(\hat{\theta} - \theta) = \theta$
• $E(\hat{\theta}) = \theta$
• $P(\hat{\theta} = \theta) = 1$

5、在回归问题中，以下哪种损失函数对异常值（outliers）最敏感？ {{ select(5) }}

• 平均绝对误差（MAE）
• 均方误差（MSE）
• 对数损失（Log Loss）
• Huber损失

6、使用算法计算数列 $I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{x + 5}dx, n = 0,1,\dots, 100$，如果初始值 $I_0^*$ 的绝对误差为 $0.01$，那么以下哪种情形可以称该算法是数值稳定的？ {{ select(6) }}

• $I_n^*$的绝对误差均不超过 0.01
• $I_n^*$的绝对误差单调不增加
• $I_n^*$ 的绝对误差有上界

7、在反向传播过程中，如果发现某个特定层的学习速度显著慢于其他层，以下选项中，最可能的原因是？ {{ select(7) }}

• 该层的参数数量较少
• 该层的梯度消失
• 数据标准化不充分
• 学习率设置过低

8、在一个二分类问题中，精确率（Precision）为 0.8，召回率（Recall）为 0.5，F1 分数最接近如下哪个选项？ {{ select(8) }}

• 0.62
• 0.31
• 0.4
• 0.7

9、某二分类模型混淆矩阵为：TP=80，TN=100，FP=20，FN=50。其 F1 分数约为？ {{ select(9) }}

• 0.62
• 0.54
• 0.7
• 0.78

10、A 为 2 阶矩阵，B 为 2 阶矩阵，且已知 $\det(A) = 2, \det(B) = 3$，则下列结论正确的是（）

{{ select(10) }}

• $\det(A^T B) = 5$（$A^T$ 为$A$的转置矩阵）
• $\det(AB) = 6$
• $\det(2A) = 4$
• $\det(A + B) = 5$

11、在多层感知器（MLP）中，隐藏层通过一系列非线性变换（由激活函数实现）对输入数据进行变化操作，这样的主要作用是？ {{ select(11) }}

• 直接映射输入到输出，无需中间处理
• 学习输入特征之间的复杂关系，并进行非线性变换
• 用于减少模型的训练时间
• 确保模型的预测结果为线性可分

12、假设输入的向量为 $a = [0,1]$，$b = [2,0]$，其中 $W_k = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，$W_q = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$，$W_v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，温度因子 $d_k = 1$，已知 $e^1 \approx 2.718$，$e^2 \approx 7.389$，$e^3 \approx 20.086$，$e^4 \approx 54.598$，计算 self-attention 后的a，b的输出

{{ select(12) }}

• $a = [0, 1]$ $b = [2, 0]$
• $a = [16, 1]$ $b = [16, 2]$
• $a = [2.9242, 0, 2689]$ $b = [0.4768, 0.8807]$
• $a = [3.8104, 0, 0474]$ $b = [3, 5232, 0.1192]$

13、在 Transformer 模型中，自注意力机制（Self-Attention）的核心作用是 {{ select(13) }}

• 捕捉序列中不同位置元素之间的依赖关系
• 替代卷积操作提取局部特征
• 降低模型的计算复杂度
• 减少参数数量

14、假设一个大模型 Agent 在解决数学推理任务时采用 “反思 - 修正” 机制，其核心流程为：

1. 生成初步答案 $A_1$；

2. 通过独立模块生成反思信号 $R$；

3. 根据$R$修正答案 $A_1 \to A_2$。

   若训练时采用强化学习（RL）框架，则以下哪项最可能是奖励函数的设计目标？

{{ select(14) }}

• 最大化 $R$ 与 $A_1$ 的语义相似度
• 最大化 $A_2$ 与真实答案 $G$ 的匹配度，同时最小化 $|A_1 - A_2|$
• 最小化 $A_1$ 与 $A_2$ 的计算开销差异
• 最大化 $A_1$ 与真实答案 $G$ 的匹配度

15、某种电子设备的寿命（单位：小时）服从参数为 $\lambda = 0.01$ 的指数分布，即其概率密度函数为 $f(t)=0.01e^{-0.01t}$，其中 $t \ge 0$。以下陈述正确的是： {{ select(15) }}

• 设备失效率（瞬时故障率）随时间增长而降低。
• 设备已经工作100小时，它在未来10小时内失效的条件概率小于一个新设备在前10小时内失效的概率。
• 设备失效率（瞬时故障率）随时间增长而增加。
• 设备已经工作100小时，它在未来10小时内失效的条件概率等于一个新设备在前10小时内失效的概率。

二、多选题

16、以下哪些操作不会改变 Transformer 的位置编码信息？ {{ multiselect(16) }}

• 交换两个 token
• 对输入嵌入加常数向量
• 将序列整体左移 1 个 token
• 对输入嵌入乘常数矩阵

17、关于激活函数 GELU 与 ReLU，下列描述正确的是（可多选） {{ multiselect(17) }}

• GELU 近似保留输入分布的均值，使深网络更易训练
• 在绝大多数现代 Transformer 变体中，GELU 已被 SwiGLU 全面替代
• GELU 相较于 ReLU 无需额外随机性即可引入“软门控”
• 在相同学习率下，GELU 的梯度上界大于 ReLU

18、在深度学习中，权重初始化是一个重要步骤。假设某个网络层的权重被初始化为来自均值为 0、标准差为 sigma 的高斯分布（正态分布）。关于这个初始化策略，以下哪些说法在概率论上是正确的？ {{ multiselect(18) }}

• 权重的取值范围被严格限制在 $[-3\text{sigma}, 3\text{sigma}]$之内
• 增加标准差 sigma 会使得初始化的权重值更倾向于远离 0
• 大约 68% 的权重值会落在 $[-\text{sigma}, \text{sigma}]$ 的区间内
• 初始化权重的期望值为 0

19、在机器学习中，以下哪些方法可以用于处理类别不平衡问题？ {{ multiselect(19) }}

• 对少数类样本进行过采样（Oversampling）
• 使用 AUC-ROC 曲线作为评价指标
• 使用 F1 分数作为评价指标
• 对多数类样本进行欠采样（Undersampling）

20、梯度检查点 (Gradient Checkpointing) 与 ZeRO-Offload 的主要区别体现在（可多选） {{ multiselect(20) }}

• 两者可叠加以进一步扩大可训练模型规模
• 前者通过丢弃中间激活再正向重算，减少显存；后者将部分参数 / 优化器状态搬到 CPU 或 NVMe
• 两者都会增加前向推理时延
• 前者仅影响前向计算图；后者改动优化器加载激活值的方式（例如 CPU）