解题思路

本题要求用二分类逻辑回归（Logistic Regression）对“是否购买”进行预测。模型形式为 $\hat y = \sigma(z)=\sigma(w^\top x + b)$，其中 $\sigma(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$ 为 Sigmoid。

优化目标（带 L2 正则的交叉熵）： 对 $n$ 个样本，特征维度为 $d=3$（年龄、月收入、浏览时长），标签 $y\in\{0,1\}$。 损失函数取平均交叉熵并加入 L2 正则（采用更常见的平方范数形式）：

题目内容

实现一个二分类逻辑回归模型，用于预测用户是否会购买某商品（$1$ 表示购买，$0$ 表示不购买）。已知用户特征包括年龄（岁）、月收入（千元）和浏览时长（分钟），需通过这些特征建立预测模型。

我们构建一个逻辑回归模型来预测购买：$y_{pred} = sigmoid(wx + b)$，

$w$ 和 $b$ 分别为特征权重和偏置。

要求：

• 基于训练数据，使用梯度下降法训练逻辑回归模型参数。要求采用的具体函数方法为：损失函数为预测结果与标签值的交叉熵

$L = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} CrossEntropy(y_i^{pred}, y_i^{label})$，使用 $L2$ 正则约束权重 $L_2(w) = ||w||_2$，激活函数为 $Sigmoid$ 。

训练终止条件：迭代次数达到最大次数（$max\_iter$）或损失函数变化量小于阈值（$tol$）。

对测试数据进行预测，输出预测结果（概率 $≥0.5$ 预测为 $1$，否则为 $0$），和对应的概率值，四舍五入保留四位小数。

输入描述

第一行：$5$ 个数字，分别为训练样本数 $n$ 、最大迭代次数 $max\_iter$、学习率 $α$（浮点型）、正则化系数 $λ$（浮点型）、损失阈值 $tol$（浮点型）。

接下来 $n$ 行：每行 $4$ 个数值，前 $3$ 个为特征（年龄、月收入、浏览时长），第 $4$ 个为标签（$0$ 或 $1$）。

第 $n+2$ 行：整数 $m$（测试样本数）。

接下来 $m$ 行：每行 $3$ 个数值，为测试特征。

输出描述

$m$ 行，每行 $1$ 个整数（ $0$ 或 $1$），表示预测结果；接着是一个空格；紧接着输出对应的商品购买小数概率值（保留四位小数）

样例1

输入

10 1000 0.01 0.1 0.0001
25 8 5 0
30 15 15 1
35 20 10 0
40 25 20 1
45 30 25 1
50 35 18 1
55 40 12 0
60 45 8 0
65 50 5 0
70 55 30 1
3
32 18 12
48 33 22
62 48 10

输出

1 0.7539
1 0.9966
0 0.0004

说明

对于第一个样例，年龄（$32$ 岁）、月收入（$18$ 千元）和浏览时长（$12$ 分钟），输出结果 $1$ 表示该用户会购买该商品，$0.7539$ 表示用户购买该商品的概率是 $75.39$%。

样例2

输入

10 1000 0.01 0.1 0.0001
25 8 5 0
30 15 15 1
35 20 10 0
40 25 20 1
45 30 25 1
50 35 18 1
55 40 12 0
60 45 8 0
65 50 5 0
70 55 30 1
1
48 30 10

输出

0 0.0081

说明

对于第一个样例，年龄（$48$ 岁）、月收入（$30$ 千元）和浏览时长（$10$ 分钟），输出结果 $0$ 表示该用户不会购买该商品，$0.0081$ 表示该用户购买该商品的概率是 $0.81$%。