思路与公式

• 记忆单元数量（隐藏维度）为 $m=5$，输入维度为 $x\_dim=7$，因此每个门的权重矩阵形状均为 $(m,\; x\_dim+m)=(5,12)$。在每个时间步 $t$，把当前输入 $x_t\in\mathbb{R}^{7}$ 与上一步隐藏向量 $h_{t-1}\in\mathbb{R}^{5}$ 级联成 $\mathrm{xc}=[x_t;h_{t-1}]\in\mathbb{R}^{12}$。

• 经典 LSTM 的前向计算如下（与题面描述一致）：

  $$\begin{aligned} g_t &= \tanh(W_g \, \mathrm{xc} + b_g),\\ i_t &= \sigma(W_i \, \mathrm{xc} + b_i),\\ f_t &= \sigma(W_f \, \mathrm{xc} + b_f),\\$$

题目内容

【问题说明】长短期记忆网络（$Long$ $Short-Term$ $Memory$, $LSTM$）是一种特殊的循环神经网络（$RNN$），旨在解决传统 $RNN$ 中存在的梯度消失和梯度爆炸问题，使其能够有效地学习长期依赖关系。

一个 $LSTM$ 单元（$Cell$）的核心由三个关键的门和一个细胞状态（$Cell$ $State$）组成：

细胞状态 ($Cell$ $State$):这是 $LSTM$ 的“记忆高速公路"，信息沿着这条路径从一个时间步传递到下一个。它的更新是一个简单的线性操作(加法和乘法)，这使得梯度可以更直接地流动，从而避免了梯度消失。

遗忘门 ($Forget$ $Gate$):遗忘门决定从上一时间步的细胞状态中丢弃哪些信息。它通过一个 $Sigmoid$ 激活函数，对上一个隐藏状态和当前输入进行处理，输出一个介于 $0$ 和 $1$ 之间的向量。$0$ 表示完全遗忘，$1$ 表示完全保留。

输入门（$Input Gate$）：输入门控制新信息写入到细胞状态中。它包含两个部分：

• 一个 $Sigmoid$ 层，用于决定哪些值需要更新。
• 一个 $Tanh$ 层，用于创建新的候选细胞状态（$C$ ~ $t$）。

输出门（$Output$ $Gate$）：输出门决定当前时刻的隐藏状态（$Hidden$ $State$）将输出哪些信息。它首先通过一个 $Sigmoid$ 层来决定细胞状态的哪些部分会被输出，然后对当前的细胞状态应用 $Tanh$ 函数，最后两者相乘得到新的隐藏状态。

【任务要求】请根据下图的 $LSTM$ 结构示意图，实现一个 $LSTM$ 模型的关键函数，并按下列要求输出计算结果。

该 $LSTM$ 模型包含了 $5$ 个 $LSTM$ $Cell$（上图中 $A$ 单元），每个 $LSTM$ $Cell$ 中的权重的定义如下图所示，分别为 $wf, wi, wg, wo$, 对应的偏置为 $bf, bi, bg, bo$。已在 $python$ 代码模板中提供了 $5$ 个 $LSTM$ $Cell$ 的权重和偏置的数据。如果使用非 $Python$ 语言, 需沿用 $Python3$ 代码模板中的参数设置。

该 $LSTM$ 模型会循环地作用于输入序列中的每一个时间步（从 $t=1$ 到 $t=sequence\_length$），每个时间步的计算都会产生一个 $5$ 维的隐藏状态。请针对不同输入矩阵运行 $LSTM$ 模型，计算对应每个时间步隐藏层状态 $h$ 的首元素。其中输入 $X$ 矩阵的形状为 $[4, 7]$ ，即输入数据序列时间步长 $sequence\_length$ 为 $4$ ，输入数据维度 $X\_dim$ 为 $7$ 。

输入描述

一共一行数据，用于描述输入矩阵。

其中前两个为整型数据，分别为 $sequence\_length$ 行数和 $x\_dim$ 列数，后面数据为输入矩阵的参数，均为浮点数，按行平铺 $flatten$ 形式展开为一维序列，数据间以一个空格间隔。

输出描述

一共一行数据，输出每个时间步隐藏状态的首元素，按时间步顺序组成，数据之间以一个空格间隔。

数据精度要求:且均四舍五入精确到小数点后 $3$ 位，同时若尾部存在 $0$ 结尾需进行舍弃如 $0.200$ $0.310$ $0.891$ $0.007$ 需要舍弃尾部，变为 $0.2$ $0.31$ $0.891$ $0.007$ 。特殊情况：$0$ 或 $0.000$ 或 $0.00$ 或 $0.0$ 需输出为 $0.0$ 。

样例1

输入

4 7 -1.153285 -0.081943 0.464549 3.411137 0.594197 1.21088 -0.234899 -0.272196 0.279498 -0.289765 -0.826989 -0.224368 0.711969 -0.067545 0.80226 0.574793 2.458116 0.733628 0.698731 -0.816701 0.533741 -1.756603 -0.123113 -0.550757 0.273727 0.249046 -1.165406 -0.31581

输出

0.001 -0.002 0.012 -0.006

样例2

输入

4 7 -1.609352 -0.165708 -0.494005 1.980481 0.316188 -0.005439 -1.108964 0.576463 -0.048573 -0.384642 -1.112576 0.351411 0.698983 0.607453 0.364154 -0.220041 0.345962 -0.274185 -0.784176 -1.740389 1.118046 0.794949 2.249595 -0.038455 0.037336 -0.652332 1.491228 -0.248807

输出

-0.006 -0.012 -0.013 0.014

说明

样例的输入输出均为一行数据，具体格式及输出规范参考上述输入输出描述。经典LSTM模型结构实现