题目内容

实现将一个整数的幂运算，转换为质数的乘运算，质数按从小到大排序。

质数是指在大于$1$的自然数中，除了$1$和它本身以外不再有其他因数的自然数。

输入描述

整数的幂运算连乘表达式，表达式中只有乘和幂运算，其中$*$表示乘运 算，^表示幂运算。 整数的范围: [$1,100000$] 指数的范围:[$1,100$] 输入为一个合法的表达式，表达式最长为$1000$个字符。

输出描述

转换为质数的乘运算，质数按从小到大排序。

测试用例保证，输出最长不超过$100000$。

样例1

输入

6^3*10		

输出

2*2*2*2*3*3*3*5

说明

$6^3*10$

$6^3可以拆分为质数乘(2*3)^3$,进一步表示为$2*2*2*3*3*3$

$10$可以拆分为质数乘$2*5$

所以整体转换为

$2*2*2*3*3*3*2*5$

对质数进行排序

$2*2*2*2*3*3*3*5$

样例2

输入

5*14

输出

2*5*7

说明

$14$可以拆分为$2*7$

所以整体转换为

$5*2*7$

对质数进行排序

$2*5*7$

题解

题目描述

给定一个整数的幂运算连乘表达式，要求将其转换为质数的乘积表达式，并按质数从小到大的顺序输出。

表达式中可能包含乘法运算（*）和幂运算（^）。整数范围为 [1, 100000]，指数范围为 [1, 100]，表达式最长为 1000 个字符。转换后的结果应是质数因子的乘法形式，所有质数按从小到大的顺序排列。

示例 1

输入：

6^3*10

输出：

2*2*2*2*3*3*3*5

解释：

• 6^3 拆解为 2*3，并重复 3 次，得到 2*2*2*3*3*3。
• 10 拆解为 2*5。
• 所有质数因子组合起来为 2*2*2*2*3*3*3*5，最终排序后输出。

示例 2

输入：

5*14

输出：

2*5*7

解释：

• 5 是质数，直接输出。
• 14 拆解为 2*7。
• 所有质数因子组合起来为 5*2*7，排序后输出 2*5*7。

题解思路

为了完成这个题目，我们需要进行以下几个步骤：

1. 分解整数为质因子：

   • 质因子分解是指将一个整数拆解为质数的乘积。例如，6 可以拆解为 2*3，10 拆解为 2*5。
   • 我们可以利用埃拉托斯特尼筛法提前计算出小于等于 100000 的所有质数，以便快速进行因子分解。

2. 处理幂运算：

   • 对于幂运算 a^b，我们首先将 a 拆解为质因子，然后将这些质因子重复 b 次。例如，6^3 等价于 (2*3)^3，即 2*2*2*3*3*3。

3. 解析表达式：

   • 表达式中的乘法 (*) 和幂运算 (^) 需要正确解析，并将所有整数转换为其质因子形式。
   • 对于表达式中的每个因子，如果是幂运算，我们先进行因子分解，再根据指数重复对应的因子。

4. 排序输出：

   • 所有拆解出来的质数因子收集起来后，我们需要按从小到大的顺序排序，并输出为以 * 连接的字符串。

解题步骤

1. 计算质数：首先使用埃拉托斯特尼筛法计算出所有小于等于 100000 的质数。这样可以避免重复计算，并加快质因子分解的过程。

2. 解析表达式：将输入的数学表达式拆解成乘法和幂运算。对于幂运算，先将基数拆解为质因子，再根据指数重复质因子。

3. 质因子分解：对每个数（包括幂运算中的基数），通过质数表分解其质因子，并将质因子按要求的次数进行重复。

4. 排序并输出：将所有的质因子进行排序，最后以 * 连接的形式输出结果。

Python代码实现

import math

# 用埃拉托斯特尼筛法计算所有小于等于100000的质数
def sieve_of_eratosthenes(limit):
    sieve = [True] * (limit + 1)
    sieve[0] = sieve[1] = False
    for i in range(2, int(math.sqrt(limit)) + 1):
        if sieve[i]:
            for j in range(i * i, limit + 1, i):
                sieve[j] = False
    return [i for i in range(2, limit + 1) if sieve[i]]

# 质数分解函数
def prime_factors(n, primes):
    factors = []
    for prime in primes:
        if prime * prime > n:  # 因为 prime*prime 可能大于 n, 可以提前结束
            break
        while n % prime == 0:
            factors.append(prime)
            n //= prime
    if n > 1:
        factors.append(n)  # n本身是质数
    return factors

# 解析幂运算和乘法表达式
def parse_expression(expression):
    terms = expression.split('*')
    total_factors = []
    
    for term in terms:
        if '^' in term:
            base, exponent = term.split('^')
            base = int(base)
            exponent = int(exponent)
            # 将base拆解成质数因子，并按exponent次重复
            factors = prime_factors(base, primes)
            total_factors.extend(factors * exponent)
        else:
            base = int(term)
            factors = prime_factors(base, primes)
            total_factors.extend(factors)
    
    return total_factors

# 主函数
if __name__ == "__main__":
    # 输入
    expression = input().strip()
    
    # 计算所有小于等于100000的质数
    primes = sieve_of_eratosthenes(100000)
    
    # 解析表达式并得到质数因子
    factors = parse_expression(expression)
    
    # 排序并输出
    factors.sort()
    # 输出质数因子，格式为 "2*2*3*3"
    print('*'.join(map(str, factors)))

C++ 实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <sstream>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 埃拉托斯特尼筛法，计算所有小于等于 limit 的质数
vector<int> sieve_of_eratosthenes(int limit) {
    vector<bool> sieve(limit + 1, true);
    sieve[0] = sieve[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= limit; ++i) {
        if (sieve[i]) {
            for (int j = i * i; j <= limit; j += i) {
                sieve[j] = false;
            }
        }
    }
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= limit; ++i) {
        if (sieve[i]) {
            primes.push_back(i);
        }
    }
    return primes;
}

// 质因子分解
vector<int> prime_factors(int n, const vector<int>& primes) {
    vector<int> factors;
    for (int prime : primes) {
        if (prime * prime > n) break;
        while (n % prime == 0) {
            factors.push_back(prime);
            n /= prime;
        }
    }
    if (n > 1) {
        factors.push_back(n);  // n 本身是质数
    }
    return factors;
}

// 解析表达式并返回所有质因子
vector<int> parse_expression(const string& expression, const vector<int>& primes) {
    vector<int> total_factors;
    stringstream ss(expression);
    string term;
    
    while (getline(ss, term, '*')) {
        if (term.find('^') != string::npos) {
            int base, exponent;
            size_t pos = term.find('^');
            base = stoi(term.substr(0, pos));
            exponent = stoi(term.substr(pos + 1));
            
            vector<int> factors = prime_factors(base, primes);
            for (int i = 0; i < exponent; ++i) {
                total_factors.insert(total_factors.end(), factors.begin(), factors.end());
            }
        } else {
            int base = stoi(term);
            vector<int> factors = prime_factors(base, primes);
            total_factors.insert(total_factors.end(), factors.begin(), factors.end());
        }
    }
    
    return total_factors;
}

int main() {
    string expression;
    getline(cin, expression);
    
    // 计算质数
    int limit = 100000;
    vector<int> primes = sieve_of_eratosthenes(limit);
    
    // 解析表达式并获取所有质因子
    vector<int> factors = parse_expression(expression, primes);
    
    // 排序并输出
    sort(factors.begin(), factors.end());
    for (size_t i = 0; i < factors.size(); ++i) {
        if (i != 0) {
            cout << "*";
        }
        cout << factors[i];
    }
    cout << endl;
    
    return 0;
}

Java 实现

import java.util.*;

public class Main {
    
    // 埃拉托斯特尼筛法，计算所有小于等于 limit 的质数
    public static List<Integer> sieveOfEratosthenes(int limit) {
        boolean[] sieve = new boolean[limit + 1];
        Arrays.fill(sieve, true);
        sieve[0] = sieve[1] = false;
        
        for (int i = 2; i * i <= limit; i++) {
            if (sieve[i]) {
                for (int j = i * i; j <= limit; j += i) {
                    sieve[j] = false;
                }
            }
        }
        
        List<Integer> primes = new ArrayList<>();
        for (int i = 2; i <= limit; i++) {
            if (sieve[i]) {
                primes.add(i);
            }
        }
        return primes;
    }

    // 质因子分解
    public static List<Integer> primeFactors(int n, List<Integer> primes) {
        List<Integer> factors = new ArrayList<>();
        for (int prime : primes) {
            if (prime * prime > n) break;
            while (n % prime == 0) {
                factors.add(prime);
                n /= prime;
            }
        }
        if (n > 1) {
            factors.add(n);  // n 本身是质数
        }
        return factors;
    }

    // 解析表达式并返回所有质因子
    public static List<Integer> parseExpression(String expression, List<Integer> primes) {
        List<Integer> totalFactors = new ArrayList<>();
        String[] terms = expression.split("\\*");
        
        for (String term : terms) {
            if (term.contains("^")) {
                String[] parts = term.split("\\^");
                int base = Integer.parseInt(parts[0]);
                int exponent = Integer.parseInt(parts[1]);
                
                List<Integer> factors = primeFactors(base, primes);
                for (int i = 0; i < exponent; i++) {
                    totalFactors.addAll(factors);
                }
            } else {
                int base = Integer.parseInt(term);
                List<Integer> factors = primeFactors(base, primes);
                totalFactors.addAll(factors);
            }
        }
        
        return totalFactors;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        String expression = scanner.nextLine();
        
        // 计算质数
        int limit = 100000;
        List<Integer> primes = sieveOfEratosthenes(limit);
        
        // 解析表达式并获取所有质因子
        List<Integer> factors = parseExpression(expression, primes);
        
        // 排序并输出
        Collections.sort(factors);
        for (int i = 0; i < factors.size(); i++) {
            if (i != 0) {
                System.out.print("*");
            }
            System.out.print(factors.get(i));
        }
        System.out.println();
        
        scanner.close();
    }
}