解题思路

按照题意一步一步实现即可。

1. 数据读取与转换

   • 从标准输入读取 JSON 对象，解析出训练集 train 和测试集 test。
   • 转换为 numpy 数组方便后续矩阵运算。

2. 均值向量计算（Mean Centering）

   • 计算训练集每个特征的均值向量 $\mu$。
   • 将训练集减去均值，得到去均值矩阵 $X_c$。

3. 协方差矩阵计算

   • 题目要求使用总体方差（ddof=0），协方差矩阵公式：

     $$Σ= \frac{1}{n} X_c^\mathsf{T} X_c$$

     其中 $n$ 是训练样本数。

4. 第一主成分提取（PCA）

   • 使用 numpy.linalg.eigh 求协方差矩阵的特征值和特征向量（适用于对称矩阵）。
   • 找到最大特征值对应的特征向量 $v_{\max}$，这就是第一主成分方向。
   • 按题意：如果该向量的第一个非零分量为负，则将整个向量乘以 $-1$ 保证方向唯一。

5. 投影与重建

   • 对测试集样本 $x$：

     • 投影系数：

       $$z = (x - \mu)^\mathsf{T} v_{\max}$$

     • 重建：

       $\hat{x}=μ+z$ $νmax$

6. 均方误差计算

   • 对每个测试样本，计算：

     $$MSE(x) = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^m (x_j - \hat{x}_j)^2 $$

   • 保留两位小数，并转成字符串输出 JSON 数组。

Python 代码实现

import sys
import json
import numpy as np

def main():
    # 读取 JSON 输入
    raw = sys.stdin.read().strip()
    if not raw:
        print("[]")
        return
    data = json.loads(raw)

    # 转成 numpy 数组
    train = np.array(data["train"], dtype=float)
    test  = np.array(data["test"], dtype=float)

    # 1. 均值向量 μ
    mu = train.mean(axis=0)

    # 2. 去均值
    Xc = train - mu

    # 3. 协方差矩阵（总体方差）
    n = train.shape[0]
    cov = (Xc.T @ Xc) / n

    # 4. 求第一主成分
    vals, vecs = np.linalg.eigh(cov)
    vmax = vecs[:, np.argmax(vals)]

    # 方向标准化
    nz = np.flatnonzero(np.abs(vmax) > 1e-12)
    if nz.size > 0 and vmax[nz[0]] < 0:
        vmax = -vmax

    # 5. 投影到第一主成分
    z = (test - mu) @ vmax

    # 6. 重建数据
    x_hat = mu + np.outer(z, vmax)

    # 7. 计算 MSE
    mse = np.mean((test - x_hat) ** 2, axis=1)

    # 8. 保留两位小数并输出 JSON 数组
    out = [f"{x:.2f}" for x in mse]
    print(json.dumps(out, ensure_ascii=False))

if __name__ == "__main__":
    main()

题目内容

给定一批训练样本与若干测试样本，请你手写实现主成分分析 $(PCA)$ 并仅保留第一主成分来压缩-重建数据，最后输出每个测试样本在重建后的均方误差 $(MSE)$ 。

1.输入读取

• $train$ - 二维列表，每行是一个 $m$ 维数值特征向量

• $test$ - 二维列表，维度同上

2.去均值 $(mean-center)$

$X_c=X-μ,μ=mean(X_{train})$

3.协方差矩阵(总体方差，$ddof=0$)

$∑=\frac {1}{n}X^T_cX_c$ 。

4.求第一主成分

• 用 $numpy.linalg.eigh$ 得到全部特征对 $(λ_i,ν_i)$

• 按特征值从大到小选取第一主成分 $ν_{max}$

• 方向标准化规则 -- 若 $ν_{max}$ 首个非零分量为负，则整体乘以 $-1$ ；这样方向唯一

5.投影-重建

$z=(x-μ)^Tνmax,$ $\hat{x}=μ+z$ $νmax$

6.输出

• 对每个测试样本计算

$MSE(x)=\frac {1}{m}\sum^m_{j=1}(x_j-\hat{x}_j)^2$

• 结果保留两位小数，使用字符串形式

• 所有测试样本的误差按输入顺序组成 JSON 数组一行输出

输入描述

标准输入仅一行，为如下 $JSON$ 对象：

{

"train":[[...],[...],...],

"test":[[...],[...],...]

}

其中

• $train$ 长度 $n≥2$ ，每行长度 $m≥2$

• $test$ 任意条数，维度同 $train$

输出描述

标准输出仅一行 -- 测试集中 每个样本 $MSE$ 的字符串形式(两位小数)，用 $JSON$ 数组包裹.

补充说明

1.算法不含随机过程(无需设置随机种子)。

2.为了确保通过所有测试用例，仅允许使用 $Numpy$库与$Pandas$库实现本题。

3.使用总体方差 $np.var(x,ddof=0)$.

样例1

输入

{"train": [[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]],"test":[[0.5,0.5],[1.5,1.5]]}

输出

["0.00","0.50"]