解题思路

按照题意一步一步实现即可。

1. 数据读取与转换

   • 从标准输入读取 JSON 对象，解析出训练集 train 和测试集 test。
   • 转换为 numpy 数组方便后续矩阵运算。

2. 均值向量计算（Mean Centering）

题目内容

给定一批训练样本与若干测试样本，请你手写实现主成分分析 $(PCA)$ 并仅保留第一主成分来压缩-重建数据，最后输出每个测试样本在重建后的均方误差 $(MSE)$ 。

1.输入读取

• $train$ - 二维列表，每行是一个 $m$ 维数值特征向量

• $test$ - 二维列表，维度同上

2.去均值 $(mean-center)$

$X_c=X-μ,μ=mean(X_{train})$

3.协方差矩阵(总体方差，$ddof=0$)

$∑=\frac {1}{n}X^T_cX_c$ 。

4.求第一主成分

• 用 $numpy.linalg.eigh$ 得到全部特征对 $(λ_i,ν_i)$

• 按特征值从大到小选取第一主成分 $ν_{max}$

• 方向标准化规则 -- 若 $ν_{max}$ 首个非零分量为负，则整体乘以 $-1$ ；这样方向唯一

5.投影-重建

$z=(x-μ)^Tνmax,$ $\hat{x}=μ+z$ $νmax$

6.输出

• 对每个测试样本计算

$MSE(x)=\frac {1}{m}\sum^m_{j=1}(x_j-\hat{x}_j)^2$

• 结果保留两位小数，使用字符串形式

• 所有测试样本的误差按输入顺序组成 JSON 数组一行输出

输入描述

标准输入仅一行，为如下 $JSON$ 对象：

{

"train":[[...],[...],...],

"test":[[...],[...],...]

}

其中

• $train$ 长度 $n≥2$ ，每行长度 $m≥2$

• $test$ 任意条数，维度同 $train$

输出描述

标准输出仅一行 -- 测试集中 每个样本 $MSE$ 的字符串形式(两位小数)，用 $JSON$ 数组包裹.

补充说明

1.算法不含随机过程(无需设置随机种子)。

2.为了确保通过所有测试用例，仅允许使用 $Numpy$库与$Pandas$库实现本题。

3.使用总体方差 $np.var(x,ddof=0)$.

样例1

输入

{"train": [[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]],"test":[[0.5,0.5],[1.5,1.5]]}

输出

["0.00","0.50"]