解题思路

问题背景与分析

本题研究的是一个由$2 \times n$个仪器组成的信号系统，通过左右两侧接线点的随机配对形成封闭信号线路。我们需要计算在所有接收器都能接收到信号的前提下，最少信号源数量$x$的方差。

关键观察发现：最少信号源数量等价于系统中形成的独立循环数量。方差计算需要用到期望$E[X]$和平方期望$E[X^2]$，公式为$D(X) = E[X^2] - (E[X])^2$。

数学推导

题目内容

如下图所示，有 $2×n$ 个仪器，中间的方块是仪器的主体，每个仪器可以充当接收器或者信号源；主体的左右两侧是两个接线点。

现在，我们将左端 $2×n$ 几个接线点随机分成 $n$ 组，每组各含两个点，并将右端 $2×n$ 个接线点同样随机分成 $n$ 组。然后将每组的两个接线点用导线连接。

这样一来，我们就得到了一组封闭的信号线路。具体而言：