题解

题面描述

本题要求根据给定的数据点，利用最小二乘法拟合一个多项式回归模型。设有 $N$ 个数据点，每个数据点包含自变量 $x$ 与因变量 $y$。同时给定多项式的最高次数 $n$（满足 $0<n<N$）。多项式模型形式为

要求求出从最高次幂到常数项的系数，并将每个系数保留四位小数。

思路

1. 构造设计矩阵：
   对于每个数据点 $x_i$，构造一行向量

   $$[x_i^n, x_i^{n-1}, \dots, x_i^0]$$

   将所有数据点组成设计矩阵 $A$。

2. 构造因变量向量：
   将所有 $y_i$ 组成向量 $b$。

3. 最小二乘法求解：
   利用最小二乘法的矩阵表达形式

   $$Ac = b$$

   转化为正则方程

   $$A^T A\, c = A^T b$$

   其中 $c$ 为待求的多项式系数向量。通过求解正则方程得到系数。

4. 结果处理：
   将求得的系数按从最高次到常数项输出，并保留四位小数。

代码分析

• 输入处理：
  先读取数据点个数 $N$，接着读取每个数据点 $(x_i, y_i)$，最后读取多项式阶数 $n$。

• 矩阵构造：
  构造一个 $N \times (n+1)$ 的矩阵 $A$，以及一个 $N \times 1$ 的向量 $b$。

• 解方程：
  对于 Python 可直接调用 numpy.linalg.lstsq；对于 C++ 和 Java 则需要构造正则方程 $A^T A c = A^T b$，利用高斯消元或其他线性代数方法求解。

• 输出：
  将求得的系数四舍五入到小数点后四位并输出。

Python

import numpy as np

# 读取数据点数量N
N = int(input())
xs = []
ys = []
# 读取每个数据点的x和y
for _ in range(N):
    x, y = map(float, input().split())
    xs.append(x)
    ys.append(y)
# 读取多项式阶数n
n = int(input())

A = np.array([[x ** (n - i) for i in range(n + 1)] for x in xs])
b = np.array(ys)

# 使用最小二乘法求解A c = b，返回系数向量c
c, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)

# 对系数进行四位小数保留，并按照从最高次幂到常数项输出
result = [round(coef, 4) for coef in c]
print(" ".join(map(str, result)))

题目内容

某科研团队正在研究一项实验，他们收集了一组数据，想要找到一个合适的模型来描述变量之间的关系。经过初步分析，他们认为简单的线性模型无法很好地拟合数据，可能需要使用多项式回归模型。为了准确地找到最佳拟合的多项式，他们决定使用最小二乘法进行计算。请你帮助科研团队实现一个程序，使用最小二乘法和 $NumPy$ 库计算多项式问归模型的热数，具体要求如下：

1.读取输入数据集，由多个数据点组成，每个数据点包含一个自变量 $((x))$ 和一个因变量 $((y))$ 。

2.读取多项式的阶数(n)，即拟合多项式的最高次数。

3.使用最小二乘法计算多项式回归模型的系数。

4.输出计算得到的多项式系数，从最高次幂到常数项，结果均保留四位小数(使用round(x,4))。

输入描述

第一行包含一个整数 $(N)$ ，表示数据点的数量。

接下来的 $(N)$ 行，每行包含两个浮点数，表示每个数据点的 $(x)$ 和 $(y)$ 值，用空格分隔。

最后一行包含一个整数 $(n)$ ，表示拟合多项式的最高次数。（$0<n<N$）

输出描述

输出一行，包含 $(n+1)$ 个浮点数，表示多项式的系数，从最高次幂到常数项，系数之间用空格分隔，结果均保留四位小数，使用 $round(x,4)$。

补充说明

多项式回归模型的形式为：

$y=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

使用最小二乘法求解多顶式回归模型的系数，可以将问题转化为线性代数中的矩阵方程：

Ac=b

其中，A 是设计矩阵，c 是待求系数向量，b 是因变量向量。

可以使用 $numpy$ 中的矩阵和线性数代数函数，例如 $numpy.linalg.lstsq$ 。

样例1

输入

5
1.0 2.1
2.0 4.9
3.0 7.2
4.0 9.8
5.0 12.5
2

输出

0.0071 2.5271 -0.36