题解思路

1. 拆数据：把训练集按标签分成两类，取出特征和标签。
2. 求中心：算两类的平均向量，表示各自的“中心点”。
3. 算散度：累加每类点相对中心的偏差，得到类内散度矩阵，并加一点正则防止不可逆。
4. 求方向：解线性方程得到最佳投影方向 w，让两类在这条线上分得更开。
5. 预测：把测试点投到这条线上，看它更接近哪一类中心，就判哪一类。
6. 输出：把结果做成 [0,1,...] 的列表输出。

import sys
import json
import numpy as np

def main():
    # 读取整行 JSON
    raw = sys.stdin.read().strip()
    data = json.loads(raw)

    train = np.asarray(data["train"], dtype=float)
    test = np.asarray(data["test"], dtype=float)

    # 切分特征与标签
    X = train[:, :-1]
    y = train[:, -1].astype(int)

    # ---- 1) 计算两类的均值向量 μ0, μ1 ----
    X0 = X[y == 0]
    X1 = X[y == 1]
    mu0 = X0.mean(axis=0)
    mu1 = X1.mean(axis=0)

    # ---- 2) 类内散度矩阵 S_w 并做正则化 ----
    # S_w = sum_i (x_i - μ_c)(x_i - μ_c)^T, c∈{0,1}
    def scatter(Xc, muc):
        D = Xc - muc  # [n_c, d]
        return D.T @ D

    Sw = scatter(X0, mu0) + scatter(X1, mu1)

    # 微正则化，避免奇异
    eps = 1e-6
    d = X.shape[1]
    Sw_reg = Sw + eps * np.eye(d)

    # ---- 3) 投影方向 w ----
    # w = (Sw_reg)^(-1) (μ1 - μ0)
    w = np.linalg.solve(Sw_reg, (mu1 - mu0))

    # ---- 4) 预测规则 ----
    # 先把训练两类的投影均值当作阈值参照
    z0_mean = (X0 @ w).mean()
    z1_mean = (X1 @ w).mean()

    # 对测试样本：z = w^T x，谁更近就判为谁
    z_test = test @ w
    pred = (np.abs(z_test - z1_mean) < np.abs(z_test - z0_mean)).astype(int)

    # ---- 5) 输出 ----
    print(json.dumps(pred.tolist(), ensure_ascii=False))

if __name__ == "__main__":
    main()

题目内容

在仅使用 $numpy/pandas$ 的前提下，手写实现 $Flsher$ 线性判别分析 (Linear Dscrimlnant Analysis, LDA) 用于二分类;并对调试样本输出预测标签。

1.读取数据

• train：二维列表；最后一列为标签 $y∈[0,1]$,前$m$ 列为数值待征，$m≥1$

• test:二维列表;仅含特征，与训练集同维度

2.参数估计

设

• 类别均值 $μ_c=\frac{1}{N_c}\sum_{v_i=c}X_i$

• 类内散度矩阵 $S_W=\sum^1_{c=0}\sum_{v_i=c}(X_i-μ_c)(X_i-μ_c)^Τ$

为避免奇异，使用 $S^{reg}_W=S_W+10^{-6}I$

3.投影向量

$W=(S^{reg}_W)^{-1}(μ_1-μ_0)$

4.分类准则

将样本投影到一维：$z=W^ΤX^0$

计算训练集中两类投影均值 $m_0,m_1$。

对任一样本 $x$ ，预测规则固定为

$ý=${$1,∣z-m_1∣＜∣z-m_0∣$}

$ý=${$0，otherwise$}

(即“谁更近选谁”，可消除 $W$ 方向符号的不确定性。)

输入描述

标准输入仅 $1$ 行 $JSON$ ，示例

{

"train":[[1,1,0]],

​ [1.1,1.2,0],

​ [5,5,1],

​ [5.2,5.1,1]],

"test":[[1,1]],

​ [5,5]]

}

• 训练集 $n≥4$ ，列数 $m≥1$
• 所有数值为整数/浮点数，无空行

输出描述

仅输出一行:

$[0,1]1$

• 长度等于测试样本数
• 合法 $JSON$ ，逗号后加空格

补充说明

1.正则项 $10^{-6}I$ 必须加入 $S_W$ 对角以避免奇异

2.为确保通过测试用例，仅使用 $numpy/pandas$

样例1

输入

{"train":[[1,1,0],[1.1,1.2,0],[5,5,1],[5.2,5.1,1]],"test":[[1,1],[5,5]]}

输出

[0, 1]