题解

题面描述

给定一个灰度图像矩阵，大小为 $m\times n$，以及一个整数 $k$，要求对该矩阵进行奇异值分解（SVD），仅使用前 $k$ 个奇异值和对应的奇异向量重构出一个近似的低秩矩阵，并输出重构后矩阵的每个元素，保留两位小数。

题目内容

在一家致力于图像处理的科技公司，你被分配到一个新项目，目标是开发一种图像压缩算法，以减少存储空间并加速传输。团队决定使用奇异值分解 $(SVD)$ 对图像进行降维处理，以达到压缩的目的。

现在，你需要编写一个程序，对给定的灰度图像矩阵进行奇导值分解，并重构出近似的低秩矩阵。

请你帮助团队实现一个程序，使用 $NumPy$ 库对给定的矩阵进行奇异值分解，共利用前 $(k)$ 个奇异值重构矩阵。具体要求如下：

1.读取输入矩阵，为一个二维列表，表示灰度图像的像素值矩阵。

2.读取整数 $(k)$ ，表示使用前 $(k)$ 个奇异值进行矩阵重构。

3.对矩阵进行奇异值分解(SVD)，获取左奇异矩阵 $(U)$、奇异值对角矩阵 $(∑)$ 和右奇异矩阵 $(V^T)$

4.利用前 $(k)$ 个奇异值和对应的奇异向量重构矩阵

5.输出重构后的矩阵，每个元素保留两位小数 (使用 $round(x,2)$)

输入描述

• 第一行包含两个整数 $(m)$ 和 $(n)$ 表示矩阵的行数和列数。

• 接下来的 $(m)$ 行，每行包含 $(n)$ 个整数，表示矩阵的元素，元素之间用空格分隔。

• 最后一行包含一个整数 $(k)$ ，表示用前 $(k)$ 个奇异值进行矩阵重构。

输出描述

输出 $(m)$ 行，每行包含 $(n)$ 个浮点数，表示重构后的矩阵元素，元素之间用空格分隔，结里均保留两位小数，使用 $round(x,2)$

补充说明

• 奇异值分解 $(SVD)$ ，对于一个矩阵 $(A)$ 其奇异值分解为：

$A = U∑V^T$

其中：

• $(U)$ 是 $(m×m)$ 的正交矩阵，其列为 $(AA^T)$ 的特征向量。

• $(∑)$ 是 $(m×n)$ 的对角矩阵，对角线上为非负的奇异值，按降序排列。

• $(V^T)$ 是 $(n × n)$ 的正交矩阵的转置，其列为 $(A^TA)$ 的特征向量。

• 矩阵重构

使用前 $(k)$ 个奇异值和对应的奇异向量，可以近似地重构原矩阵：

$A_k =U_k∑_k V^T_k$

其中：

• $(U_k)$ 为 $(U)$ 的前 $(k)$ 列。

• $(∑_k)$ 为 $(∑)$ 中前 $(k)$ 个奇异值构成的对角矩阵。

• $(V^T_k)$ 为 $(V^T)$ 的前 $k$ 行。

样例1

输入

4 5
52 55 61 66 70
63 59 55 90 109
85 104 117 123 119
105 122 145 160 159
2

输出

47.3 54.1 61.41 69.2 70.35
63,02 58.35 55.4 90.03 109.11
84.08 101.15 118.72 123.8 119.52
107.77 125.0 143.24 157.95 158.38