题面描述

在某个充电站中，有 $n$ 个充电设备，每个设备具有特定的输出功率，可以通过任意组合这些设备来获得不同的总输出功率，形成一个功率集合 $P$。现在需要找出这个集合中最接近充电站最大输出功率 $p_{max}$ 的元素，且该元素必须小于或等于 $p_{max}$。如果所有组合的输出功率都大于 $p_{max}$，则输出 0。输入包括充电设备个数、各设备的输出功率和最大输出功率，输出为最优元素

思路

经典的01背包问题，将$p_{max}$看作是背包最大容量，每个物品的输出功率看作物品的重量和价值。

问题本质分析

该问题实际上是一个经典的 0-1 背包问题，以下是对其本质的详细分析：

1. 问题描述：

   • 我们有 $n$ 个充电设备，每个设备的输出功率可以看作是物品的重量和价值。
   • 充电站的最大输出功率 $p_{max}$ 相当于背包的最大容量。
   • 我们的目标是找到一个充电设备的组合，使得其总输出功率尽可能接近但不超过 $p_{max}$。

2. 决策变量：

   • 每个设备可以选择是否被使用（放入背包），即每个设备对应一个二元决策：选择使用（1）或不使用（0）。

3. 状态表示：

   • 使用一个布尔型数组 dp 来记录是否可以用设备组合出某个特定的输出功率。
   • dp[i] 表示是否存在设备组合的总输出功率为 $i$。

4. 状态转移：

   • 从小到大更新 dp 数组：对于每一个设备功率，从 $p_{max}$ 开始，向下迭代，更新当前能达到的输出功率。
   • 这一过程确保了在更新时不重复使用同一个设备功率。

5. 边界条件：

   • 初始状态下，dp[0] = true，表示不使用任何设备总功率为 0 是可行的。
   • 所有其他 dp[i] 初始为 false，表示未确定。

6. 最终求解：

   • 从 p_{max} 开始向下查找第一个为 true 的 dp 值，即为最接近且不超过 $p_{max}$ 的总输出功率。
   • 如果没有找到合适的组合，则输出 0。

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> powers(n);
    for(int &power : powers){
        cin >> power;
    }
    int p_max;
    cin >> p_max;
    
    // 创建一个布尔型DP数组，dp[i]表示是否存在某个子集的总和为i
    vector<bool> dp(p_max + 1, false);
    dp[0] = true; // 总和为0总是可以实现（空集）
    
    for(int power : powers){
        // 从后往前遍历，避免重复使用同一个元素
        for(int j = p_max; j >= power; --j){
            if(dp[j - power]){
                dp[j] = true;
            }
        }
    }
    
    // 从p_max开始向下查找第一个为true的值
    for(int i = p_max; i >= 0; --i){
        if(dp[i]){
            cout << i;
            return 0;
        }
    }
    
    // 如果没有任何子集满足条件，输出0
    cout << 0;
    return 0;
}

python

def main():
    n = int(input())
    powers = list(map(int, input().split()))
    p_max = int(input())
    
    # 创建一个布尔型DP数组，dp[i]表示是否存在某个子集的总和为i
    dp = [False] * (p_max + 1)
    dp[0] = True  # 总和为0总是可以实现（空集）
    
    for power in powers:
        # 从后往前遍历，避免重复使用同一个元素
        for j in range(p_max, power - 1, -1):
            if dp[j - power]:
                dp[j] = True
    
    # 从p_max开始向下查找第一个为True的值
    for i in range(p_max, -1, -1):
        if dp[i]:
            print(i)
            return
    
    # 如果没有任何子集满足条件，输出0
    print(0)

if __name__ == "__main__":
    main()

java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        
        int n = scanner.nextInt();
        int[] powers = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            powers[i] = scanner.nextInt();
        }
        int p_max = scanner.nextInt();
        
        // 创建一个布尔型DP数组，dp[i]表示是否存在某个子集的总和为i
        boolean[] dp = new boolean[p_max + 1];
        dp[0] = true; // 总和为0总是可以实现（空集）
        
        for (int power : powers) {
            // 从后往前遍历，避免重复使用同一个元素
            for (int j = p_max; j >= power; j--) {
                if (dp[j - power]) {
                    dp[j] = true;
                }
            }
        }
        
        // 从p_max开始向下查找第一个为true的值
        for (int i = p_max; i >= 0; i--) {
            if (dp[i]) {
                System.out.println(i);
                return;
            }
        }
        
        // 如果没有任何子集满足条件，输出0
        System.out.println(0);
    }
}

题目内容

某个充电站，可提供 $n$ 个充电设备，每个充电设备均有对应的输出功率。

任意个充电设备组合的输出功率总和，均构成功率集合 $P$ 的 $1$ 个元素。

功率集合 $P$ 的最优元素，表示最接近充电站最大输出功率 $p_{max}$ 的元素。

输入描述

输入为 $3$ 行：

• 第 $1$ 行为充电设备个数 $n$
• 第 $2$ 行为每个充电设备的输出功率
• 第 $3$ 行为充电站最大输出功率 $p_{max}$

输出描述

功率集合 $P$ 的最优元素

备注

• 充电设备个数 $0<n<=1000$
• 最优元素必须小于或等于充电站最大输出功率 $p_{max}<=1000$

样例1

输入

4
50 20 20 60
90

输出

90

说明

当充电设备输出功率50、20、20组合时，其输出功率总和为90，最接近充电站最大充电输出功率，因此最优元素为90。

样例2

输入

2
50 40
30

输出

0

说明

所有充电设备的输出功率组合，均大于充电站最大充电输出功率30，此时最优元素值为0。