解题思路

设三元组为 $a<b<c$。因为 $\mathrm{lcm}(a,b,c)$ 一定是 $c$ 的倍数，记 $\mathrm{lcm}(a,b,c)=k\cdot c$。又有

题意要求 $c<\mathrm{lcm}(a,b,c)<a+b+c<3c$，于是只能 $k=2$，即

因此原不等式等价为两条简单条件：

1. 上界：$\ \mathrm{lcm}(a,b,c)=2c<a+b+c\iff a+b>c$；
2. 可整除：$\ a\mid 2c$ 且 $\ b\mid 2c$（因 $\mathrm{lcm}(a,b,c)$ 是 $a,b,c$ 的公倍数且不超过 $2c$）。

并且一旦 $a+b>c$，就自动排除了“$a\mid c$ 且 $b\mid c$”导致 $\mathrm{lcm}=c$ 的情形（此时必有 $a+b<c$）。 结论： 在 $a<b<c$ 下，原条件充要等价于

算法（仅做整除与不等式判断，无需 gcd/lcm）：

• 枚举 $c\in[l+2,r]$，再枚举 $a\in[l,c-2]$。由 $a+b>c\Rightarrow b>c-a$，故

  $$b\ \text{从}\ \max(a+1,\,c-a+1)\ \text{到}\ c-1.$$

• 对每组 $(a,b,c)$ 检查 2c%a==0 && 2c%b==0 即可（枚举已保证 $a+b>c$）。

复杂度分析

• 设 $n=r-l+1(\le 100)$。三重枚举带剪枝，最坏约 $O(n^3)$ 次常数判断。
• 时间复杂度：$O(n^3)$；空间复杂度：$O(1)$。

代码实现

Python

import sys

def count_triples(l, r):
    ans = 0
    for c in range(l + 2, r + 1):           # c 至少比 a 大 2
        two_c = 2 * c
        for a in range(l, c - 1):
            # 由 a+b>c => b > c-a，同时需 b>a
            b_start = max(a + 1, c - a + 1)
            if b_start >= c:
                continue
            for b in range(b_start, c):
                # 等价条件：a|2c 且 b|2c（a+b>c 已由枚举保证）
                if two_c % a == 0 and two_c % b == 0:
                    ans += 1
    return ans

def main():
    data = sys.stdin.read().strip().split()
    t = int(data[0])
    idx = 1
    out = []
    for _ in range(t):
        l = int(data[idx]); r = int(data[idx+1]); idx += 2
        out.append(str(count_triples(l, r)))
    print("\n".join(out))

if __name__ == "__main__":
    main()

Java

import java.util.*;

public class Main {

    // 统计满足条件的三元组数量
    static long countTriples(int l, int r) {
        long ans = 0;
        for (int c = l + 2; c <= r; c++) {
            int twoC = 2 * c;
            for (int a = l; a <= c - 2; a++) {
                // a+b>c 且 b>a  ->  b >= max(a+1, c-a+1)
                int bStart = Math.max(a + 1, (c - a) + 1);
                if (bStart >= c) continue;
                for (int b = bStart; b <= c - 1; b++) {
                    // 等价条件：a|2c 且 b|2c
                    if (twoC % a == 0 && twoC % b == 0) {
                        ans++;
                    }
                }
            }
        }
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 数据范围很小，Scanner 足够
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int t = sc.nextInt();
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < t; i++) {
            int l = sc.nextInt(), r = sc.nextInt();
            sb.append(countTriples(l, r)).append('\n');
        }
        System.out.print(sb.toString());
        sc.close();
    }
}

C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 统计满足条件的三元组数量
long long count_triples(int l, int r) {
    long long ans = 0;
    for (int c = l + 2; c <= r; ++c) {
        int two_c = 2 * c;
        for (int a = l; a <= c - 2; ++a) {
            // a+b>c 且 b>a  ->  b 从 max(a+1, c-a+1) 到 c-1
            int b_start = max(a + 1, (c - a) + 1);
            if (b_start >= c) continue;
            for (int b = b_start; b <= c - 1; ++b) {
                if (two_c % a == 0 && two_c % b == 0) {
                    ++ans;
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    if (!(cin >> t)) return 0;
    while (t--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << count_triples(l, r) << "\n";
    }
    return 0;
}

题目内容

给定两个正整数 $l$ 和 $r$ ，请统计满足以下条件的 三元组 $(a,b,c)$ 的个数：

• $l≤a＜a＜b＜c≤r$

• $max(a,b,c)＜lcm(a,b,c)＜sum(a,b,c)$

【名词解释】

• 最大值：对于一组整数，它们的最大值记作 $max(·)$ 。
• 最小公倍数：对于一组整数，能够被它们全部整除的最小正整数，记作 $lcm(·)$ 。
• 和：对于一组整数，它们的和，记作 $sum(·)$ 。

输入描述

第一行输入整数 $t(1≤t≤10)$，表示测试用例数； 接下来 $t$ 行，每行输入两个整数 $l$ 和 $r(1≤l≤r≤100,r-l+1≥3)$，表示区间端点。

输出描述

对于每个测试用例，在一行输出一个整数，表示满足条件的三元组个数。

样例1

输入

3
1 10
3 5
1 100

输出

1
0
22

说明

在第一个测试用例中，符合条件的三元组有 $(3,4,6)$ ，其 $max(3,4,6)=6，lcm(3,4,6)=12，sum(3,4,6)=13$ ，满足条件；

在第二个测试用例中，没有符合条件的三元组。