思路：期望DP

首先可以看出，90抽必得5星卡 和 抽到5星普通卡 两种是独立的，所以可以用 出5星的抽卡次数期望 乘以 出5星终极卡的出5星次数期望，得到出5星终极卡的期望。

先算第二部分，出的第一个5星有0.5的可能是5星普通卡，0.5可能是5星终极卡，第一个是5星普通卡时第二个一定是终极卡，所以，1次抽出5星终极卡的概率是0.5，2次的也是0.5，期望就是 $1\times 0.5+2\times 0.5 = 1.5$

再算第一部分，可以想到用动态规划解决，$dp[i]$ 代表第i次抽卡抽出5星的概率，第i次抽出，说明前面的i-1次都没抽出，可以得到状态转移方程：

$dp[i] = (1-\sum\limits_{j<i} dp[j]) \times p$

这里的p在i=90是为1。

期望就是概率乘权值 $E = \sum i\times dp[i]$

这里在代码实现时采用前缀和优化，也就是将 $dp[i]$ 变为 $\sum dp[i]$，这步操作在统计完期望之后。

代码

C++

#include <iostream>
using namespace std;
double dp[91];

int main() {
    double p;
    cin >> p;

    double cnt = 0; //记录总期望次数

    for (int i = 1; i < 90; i++) {
        dp[i] = (1 - dp[i - 1]) * p;
        cnt += dp[i] * i;
        dp[i] += dp[i - 1]; // 前缀和
    }

    cnt += 90 * (1 - dp[89]); // i = 90时特殊处理
    cout << fixed;
    cout.precision(7);
    cout << cnt * 1.5 << "\n";

    return 0;
}

python

p = float(input())

dp = [0] * 91
cnt = 0 # 记录总期望次数

for i in range(1, 90):
    dp[i] = (1 - dp[i - 1]) * p
    cnt += dp[i] * i
    dp[i] += dp[i - 1]  # 前缀和

cnt += 90 * (1 - dp[89])  # i=90时特殊处理

print(f"{cnt * 1.5:.7f}")

Java

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        double p = sc.nextDouble();
        double[] dp = new double[91];
        double cnt = 0;		//记录总期望次数
        for(int i = 1 ; i < 90 ; i++) {
            dp[i] = (1-dp[i-1]) * p;
            cnt += dp[i] * i;
            dp[i] += dp[i-1];		//前缀和
        }
        cnt += 90 * (1-dp[89]);		//i=90时特殊处理
        System.out.printf("%.7f\n", cnt *1.5);
    }
}

题目内容

米小游很喜欢抽卡的感觉，所以他写了个抽卡程序。

普通抽卡过程有三种抽卡结果，5星普通卡、5星终极卡和非5星卡。

抽到5星普通卡和5星终极卡的概率均为 $\frac{p}{2}$ ，抽到非5星卡的概率为 $1-p$ 。

如果抽到了5星普通卡，则之后的抽卡结果将发生变化，变为 $p$ 的概率抽到5星终极卡， $1-p$ 的概率抽到非5星卡。 如果连续89次都未抽到5星卡，则第90抽必然会抽到一张5星普通卡或5星终极卡。

现在米小游想问你，他写的这个抽卡程序抽到5星终极卡的抽卡次数期望是多少？

输入描述

一个小数 $p$ 表示抽卡概率，$0<p<1$

输出描述

一个小数，表示抽到5星终极卡的抽卡次数期望。你的答案和正确答案的误差不超过$10^{-6}$ 即视为正确。

样例

输入

0.001

输出

129.1649522