题解：三进制+递归拆解

对于一个数字x，它一定可以表示为若干个2的整数幂的和，比如$7=2^2+2^1+2^0$，但是，它不一定能表示为若干个3的整数幂的和，比如$30=3^3+3^1$，这个是可以表示成若干个3的整数幂的和的，但是对于$2$这个数字来说，它不能被表示为若干个3的整数幂的和，但是可以被表示为$26=3^3-3^0$

那么我们分析一下：什么样的数字可以被表示为若干个3的整数幂的和，我们设i为3的整数幂的最高次幂，那么它可以表示的最大数字不超过$3^0+3^1+...+3^i=\frac{3^{i+1}-1}{2}$

因此，对于在该范围内的数字，是可以用若干个3的整数幂的和表示的，我们取$i=log_3(x)$，那如果有$x\ge \frac{3^{i+1}-1}{2}$，则我们需要向i+1借一位，然后让$x=x-3^{i+1}$，然后再递归处理x，注意递归处理时，需要对x取绝对值，然后后面所得到的幂次也需要变换符号，比如加号变成减号，或者减号变成加号。

复杂度分析

时间复杂度：O(logn)

空间复杂度：O(1)

C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int>PII;
#define x first
#define y second
typedef long long ll;
const int N=1E5+10;
int n;
vector<int>nums;
ll pow(int a,int b)
{
    ll res=1,t=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)res*=t;
        t*=t;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void get_val(int x)
{
    int t=1;
    while(x>1)
    {
        int p=log(x)/log(3);
        if((pow(3,p+1)-1)/2<x)   //不能由1 3 ... 3^p 表示 需要向上借位
        {
            nums.push_back(pow(3,p+1)*t);
            t*=-1;
            x=pow(3,p+1)-x;
        }
        else
        {
            nums.push_back(pow(3,p)*t);
            x-=pow(3,p);
        }
    }
    if(x)nums.push_back(x*t);
}
int main()
{
    // 1+3+...+3^n=(3^(n+1)-1)/2
    cin>>n;
    get_val(n);
    bool flag=true;
    for(int &x:nums)
    {
        if(flag)
        {
            cout<<x;
            flag=false;
        }
        else
        {
            if(x>0)cout<<"+";
            cout<<x;
        }
    }
    return 0;
}

Java

import java.util.*;

public class Main {
    static int n;
    static List<Integer> nums = new ArrayList<>();

    static long pow(int a, int b) {
        long res = 1, t = a;
        while (b > 0) {
            if ((b & 1) == 1) res *= t;
            t *= t;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }

    static void get_val(int x) {
        int t = 1;
        while (x > 1) {
            int p = (int) (Math.log(x) / Math.log(3));
            if ((pow(3, p + 1) - 1) / 2 < x) {
                nums.add((int) pow(3, p + 1) * t);
                t *= -1;
                x = (int) pow(3, p + 1) - x;
            } else {
                nums.add((int) pow(3, p) * t);
                x -= pow(3, p);
            }
        }
        if (x != 0) nums.add(x * t);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        get_val(n);
        boolean flag = true;
        for (int x : nums) {
            if (flag) {
                System.out.print(x);
                flag = false;
            } else {
                if (x > 0) System.out.print("+");
                System.out.print(x);
            }
        }
    }
}

Python3

import math

def pow(a, b):
    res, t = 1, a
    while b:
        if b & 1:
            res *= t
        t *= t
        b >>= 1
    return res

def get_val(x):
    t = 1
    nums = []
    while x > 1:
        p = int(math.log(x) / math.log(3))
        if (pow(3, p + 1) - 1) / 2 < x:
            nums.append(pow(3, p + 1) * t)
            t *= -1
            x = pow(3, p + 1) - x
        else:
            nums.append(pow(3, p) * t)
            x -= pow(3, p)
    if x:
        nums.append(x * t)
    return nums

n = int(input())
nums = get_val(n)
flag = True
for x in nums:
    if flag:
        print(x, end='')
        flag = False
    else:
        if x > 0:
            print('+', end='')
        print(x, end='')

题目内容

在这个古老的民族中，数学不仅是一门学科，更是一种信仰和文化。他们相信，数字是宇宙中最基本的构成元素，任何事物的本质都可以用数字来描述和解释。

因此，这个民族对数字的研究非常深入。他们探索各种数学问题，包括数论、几何、代数等等，不断推进数学领域的发展。

其中一个有趣的问题是如何用若干个不相等的 $3$ 的幂次方的和或差来表示任何正整数。这个问题引起了这个民族数学家们的极大兴趣，经过长期的研究和探索，他们最终得出了结论：任何正整数都可以用若干个不相等的 $3$ 的幂次方的和或差表示。

这个发现深深地影响了这个民族的文化和信仰，成为他们数学研究和文化传承中的重要组成部分。为了纪念这个发现，这个民族经常使用 $3$ 的幂次方作为他们文化的象征，并且在重要的节日和庆典中经常使用这个数字来表示祝福和祈愿。

今天，你有机会帮助这个民族解决一个实际的问题：给定一个正整数，你需要找到一种由若干个不相等的 $3$ 的幂次方的和或差表示的方式，并按照每一项从大到小的顺序输出。

输入描述

一个正整数 $x$ 。 $1\le x\le 10^9$

输出描述

一个表达式，最终的答案必须等于 $x$ 。表达式的每一项必须是 $3$ 的幂，且不能有两项相同。

例如， $18$ 必须输出为 $27-9$ 而不能是 $9+9$ 。

样例1

输入

30

输出

27+3

样例2

输入

300

输出

243+81-27+3