思路分析

这个问题可以根据质数的数量 $m$ 进行分类讨论，从最小的可能值 $m=1$ 开始逐步分析。这个解法依赖于数论中的一些结论，特别是哥德巴赫猜想。

1. 当 $m=1$ 时： 如果 $n$ 可以表示为 $1$ 个质数的和，那么 $n$ 本身必须是一个质数。因此，我们的第一步是检查输入的 $n$ 是否为质数。如果是，那么最小的 $m$ 就是 $1$。 对于 $n \le 10^9$ 的范围，我们可以通过试除法来高效地判断质数：只需检查从 $2$ 到 $\sqrt{n}$ 是否存在 $n$ 的因子即可。

2. 当 $m=2$ 时： 如果 $n$ 不是质数，我们接着考虑它是否能表示为 $2$ 个质数的和，即 $n = p_1 + p_2$。这里需要分两种情况讨论：

   • $n$ 是偶数： 根据哥德巴赫猜想，任何大于 $2$ 的偶数都可以表示为两个质数的和。例如，$10 = 3 + 7$，$20 = 7 + 13$。虽然这仍是一个猜想，但它在 $n \le 10^9$ 的范围内已经被验证是成立的。因此，如果 $n$ 是一个大于 $2$ 的偶数，答案就是 $2$。（$n=2$ 的情况在 $m=1$ 时已经处理，因为它本身是质数）。

   • $n$是奇数： 如果两个数之和为奇数，那么其中一个必然是偶数，另一个是奇数。在质数中，唯一的偶数是 $2$。所以，如果一个奇数 $n$ 能表示为两个质数的和，那么表达式必须是 $n = 2 + p$，其中 $p$ 是一个奇质数。这意味着 $p = n - 2$。因此，我们只需要判断 $n-2$ 是否为质数。如果是，答案就是 $2$。例如，$9 = 2 + 7$，因为 $7$ 是质数，所以 $9$ 的答案是 $2$。

3. 当 $m=3$ 时： 如果 $n$ 既不能表示为 $1$ 个质数，也不能表示为 $2$ 个质数的和，我们最后考虑 $m=3$ 的情况。 一个数 $n$ 走到这一步，它会具备以下特点：

   • 它不是质数（$m=1$ 不成立）。
   • 它是一个奇数（因为所有大于 $2$ 的偶数情况已在 $m=2$ 时解决）。
   • $n-2$ 不是质数（$m=2$ 对奇数的情况不成立）。

   我们希望将这个奇数 $n$ 表示为三个质数的和 $n = p_1 + p_2 + p_3$。 我们可以尝试固定其中一个质数为 $3$（一个奇质数），则 $n = 3 + p_2 + p_3$。 移项后得到 $n - 3 = p_2 + p_3$。 因为 $n$ 是奇数，所以 $n-3$ 必然是一个偶数。根据哥德巴赫猜想，任何大于 $2$ 的偶数都可以表示为两个质数的和。 最小的进入此判断的 $n$ 是 $27$（$9, 15, 21, 25$ 等奇合数都可以表示为 $2+$质数）。对于 $n=27$， $n-3=24$，$24$ 是一个偶数且大于 $2$，它可以表示为两个质数的和，例如 $24 = 5 + 19$。所以 $27 = 3 + 5 + 19$。 由于所有不满足前两种情况的奇数 $n$ 都大于 $5$，所以 $n-3$ 必然是一个大于 $2$ 的偶数。因此，这些数总能被表示为 $3$ 个质数的和。 所以，如果一个数不满足 $m=1$ 和 $m=2$ 的情况，那么答案一定是 $3$。

C++

#include <iostream>
#include <cmath>

// 用于判断一个数是否为质数的函数
bool isPrime(long long n) {
    // 小于2的数不是质数
    if (n < 2) {
        return false;
    }
    // 试除法：检查从2到sqrt(n)的数是否能整除n
    for (long long i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    // 加速输入输出
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    long long n;
    std::cin >> n;

    // 情况1: n本身是质数
    if (isPrime(n)) {
        std::cout << 1 << std::endl;
    } 
    // 情况2.1: n是偶数
    // n=2的情况已经被isPrime处理。这里n是大于2的偶数。
    // 根据哥德巴赫猜想，任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。
    else if (n % 2 == 0) {
        std::cout << 2 << std::endl;
    } 
    // 情况2.2 和 3: n是奇合数
    else {
        // 一个奇数要成为两个质数的和，必须是 2 + 另一个质数。
        // 所以我们检查 n-2 是否为质数。
        if (isPrime(n - 2)) {
            std::cout << 2 << std::endl;
        } else {
            // 如果n是奇合数，且n-2也不是质数，
            // 那么n可以表示为3个质数的和 (n = 3 + 偶数 = 3 + p1 + p2)。
            std::cout << 3 << std::endl;
        }
    }

    return 0;
}

Python

import math

def is_prime(n: int) -> bool:
    """
    用于判断一个数是否为质数的函数
    """
    # 小于2的数不是质数
    if n < 2:
        return False
    # 试除法：检查从2到sqrt(n)的数是否能整除n
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def solve():
    """
    主解决函数
    """
    n = int(input())

    # 情况1: n本身是质数
    if is_prime(n):
        print(1)
        return

    # 情况2.1: n是偶数
    # n=2的情况已经被is_prime处理。这里n是大于2的偶数。
    # 根据哥德巴赫猜想，任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。
    if n % 2 == 0:
        print(2)
        return
    
    # 情况2.2 和 3: n是奇合数
    # 一个奇数要成为两个质数的和，必须是 2 + 另一个质数。
    # 所以我们检查 n-2 是否为质数。
    if is_prime(n - 2):
        print(2)
    else:
        # 如果n是奇合数，且n-2也不是质数，
        # 那么n可以表示为3个质数的和 (n = 3 + 偶数 = 3 + p1 + p2)。
        print(3)

solve()

Java

import java.util.Scanner;

public class Main {

    /**
     * 用于判断一个数是否为质数的函数
     * @param n 要判断的数
     * @return 如果是质数返回true，否则返回false
     */
    public static boolean isPrime(long n) {
        // 小于2的数不是质数
        if (n < 2) {
            return false;
        }
        // 试除法：检查从2到sqrt(n)的数是否能整除n
        for (long i = 2; i * i <= n; i++) {
            if (n % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        long n = scanner.nextLong();

        // 情况1: n本身是质数
        if (isPrime(n)) {
            System.out.println(1);
        } 
        // 情况2.1: n是偶数
        // n=2的情况已经被isPrime处理。这里n是大于2的偶数。
        // 根据哥德巴赫猜想，任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。
        else if (n % 2 == 0) {
            System.out.println(2);
        } 
        // 情况2.2 和 3: n是奇合数
        else {
            // 一个奇数要成为两个质数的和，必须是 2 + 另一个质数。
            // 所以我们检查 n-2 是否为质数。
            if (isPrime(n - 2)) {
                System.out.println(2);
            } else {
                // 如果n是奇合数，且n-2也不是质数，
                // 那么n可以表示为3个质数的和 (n = 3 + 偶数 = 3 + p1 + p2)。
                System.out.println(3);
            }
        }
        
        scanner.close();
    }
}

题目内容

找到一个最小的$m$，使得存在一个正整数序列 {$a_1,a_2,...,a_m$}，满足：

• $a_1+a_2+...+a_m=n$

• $a$ 中的每个元素都是质数。

输入描述

输入一行一个整数 $n(2 ≦n≦10^9)$ 。

输出描述

输出一行一个整数，代表最小的满足条件的 $m$ 。

样例1

输入

9

输出

2

说明

可以构造 $a=${$7,2$}，其中 $7+2=9$ ，且 $7$ 和 $2$ 都为质数。

可以证明不存在长度小于 $2$ 的满足条件的序列。

样例2

输入

2

输出

1

样例3

输入

27

输出

3