思路

这个问题的核心是计算一个整数中特定数字的出现次数。

1. 分析约束条件：题目给出的输入范围是 $1 \leq n \leq 15$。这是一个非常关键的条件。我们来估算一下最大阶乘的值：$15!$ 约等于 $1.3 \times 10^{12}$。这个数值在一个标准的64位整型（在C++中是 long long，在Java中是 long）的表示范围内（大约是 $9 \times 10^{18}$）。因此，我们可以直接计算出 $n!$ 的精确值，而不用担心数据溢出。

2. 算法步骤：

   • 第一步：计算阶乘。 我们可以使用一个循环，从 $1$ 乘到 $n$，来计算 $n!$ 的值。需要注意使用一个足够大的数据类型来存储结果，例如 long long。 $\text{factorial}$ = $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$

   • 第二步：统计数字 '0' 的个数。 在得到阶乘的具体数值后，问题就变成了“如何统计一个整数中 '0' 的个数”。这里有两种常用方法：

     • 方法一（数学方法）：通过模运算（%）和除法运算（/）来逐位检查。

       1. 初始化一个计数器 zero_count 为 $0$。
       2. 当阶乘结果 factorial 大于 $0$ 时，进入循环。
       3. 在循环中，用 factorial % 10 取得该数的个位数。
       4. 如果个位数是 $0$，则 zero_count 加一。
       5. 用 factorial = factorial / 10 来“去掉”个位数。
       6. 重复此过程，直到 factorial 变为 $0$。

     • 方法二（字符串方法）：将计算出的阶乘结果转换为字符串，然后遍历字符串，统计字符 '0' 的数量。这种方法在某些语言（如Python）中实现起来非常简洁。

C++

#include <iostream>

int main() {
    // 读取输入 n
    int n;
    std::cin >> n;

    // 步骤1: 计算 n!
    // 由于 n 最大为 15，15! 约为 1.3e12，超过了 int 的范围，
    // 但在 long long (64位整型) 的范围内。
    long long factorial = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        factorial *= i;
    }

    // 步骤2: 计算阶乘结果中 '0' 的数量
    int zero_count = 0;
    // 特殊情况：如果 factorial 本身是 0（本题不会发生），则包含一个 '0'。
    if (factorial == 0) {
        zero_count = 1;
    } else {
        // 使用模10和除10的方法，从个位开始逐位检查
        long long temp = factorial;
        while (temp > 0) {
            // 如果当前最低位是 0，计数器加一
            if (temp % 10 == 0) {
                zero_count++;
            }
            // 去掉当前最低位，继续检查下一位
            temp /= 10;
        }
    }

    // 输出结果
    std::cout << zero_count << std::endl;

    return 0;
}

Python

# 导入 math 模块以使用 factorial 函数
import math

def count_zeros_in_factorial():
    # 读取输入 n
    try:
        n = int(input())
    except (ValueError, EOFError):
        return

    # 步骤1: 计算 n!
    # Python的 math.factorial 函数可以直接计算阶乘，且内置支持大整数，无需担心溢出。
    factorial_result = math.factorial(n)

    # 步骤2: 将结果转换为字符串，并统计 '0' 的数量
    # str() 函数将数字转换为字符串
    # .count('0') 方法可以直接统计字符串中 '0' 字符的出现次数
    zero_count = str(factorial_result).count('0')

    # 输出结果
    print(zero_count)

if __name__ == "__main__":
    count_zeros_in_factorial()

Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        // 读取输入 n
        int n = scanner.nextInt();

        // 步骤1: 计算 n!
        // 由于 n 最大为 15，15! 约为 1.3e12，需要使用 long 类型来存储
        long factorial = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            factorial *= i;
        }

        // 步骤2: 计算阶乘结果中 '0' 的数量
        int zeroCount = 0;
        // 特殊情况：如果 factorial 本身是 0（本题不会发生），则包含一个 '0'。
        if (factorial == 0) {
            zeroCount = 1;
        } else {
            // 使用模10和除10的方法，从个位开始逐位检查
            long temp = factorial;
            while (temp > 0) {
                // 如果当前最低位是 0，计数器加一
                if (temp % 10 == 0) {
                    zeroCount++;
                }
                // 去掉当前最低位，继续检查下一位
                temp /= 10;
            }
        }
        
        // 输出结果
        System.out.println(zeroCount);
        
        scanner.close();
    }
}

题目内容

小红想知道，$n$ 的阶乘十进制表示总共有多少数字 $'0'$ ?

输入描述

一个正整数 $n$ 。

$1≤n≤ 15$

输出描述

$n$ 的阶乘包含 $’0'$ 的数量。

样例1

输入

7

输出

2

说明

$7$ 的阶乘是 $5040$ ，其中有 $2$ 个数字 $'0'$