思路:数学题

由于求的是所有长度为$n$的数字的权值和。所以我们可以发现：对于任意一个偶数状态，它会和所有奇数匹配组成一个数字，然后相乘求和。所以结论是分别计算奇数位和偶数位的和乘起来即可

举个例子，假设$n = 3$ , 那么假设偶数位为:$1\ 3$ . 那么奇数位可以是$0,1,...,9$ , 分别会组成$103,113,123,133,143,153,...,193$

他们的和就是:$(1+3) * (所有奇数位的和)$

对于任意偶数位，它都满足上面这种答案，所以答案就是$所有偶数位的和*所有奇数位的和$

接着我们发现，在单独计算奇数位置或偶数位置的答案时，每一种数字在每一位都会出现$10^{n-1}$次（这里的n指的是奇/偶位数的总长度）

所以总贡献是$(1 + 2 + ... + 9) * 10^{n-1} * n$

最后注意，$n$比较大，记得上快速幂来求解$10^{n-1}$ , 不然复杂度不够.

代码

C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 1e9+7;
int n;
ll cal(ll b)
{
    ll a = 10;
    ll res = 45 * b % mod; // 45 = 1 + 2 + 3 + ... + 9
    b--;
    while(b) // 快速幂
    {
        if(b&1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main() 
{
    cin>>n;
    cout << cal(n/2) * cal((n + 1)/2) % mod;
    
}

Python

mod = int(1e9 + 7)

def cal(b):
    a = 10
    res = (45 * b) % mod  # 45 = 1 + 2 + 3 + ... + 9
    b -= 1
    while b: # 快速幂
        if b & 1:
            res = (res * a) % mod
        a = (a * a) % mod
        b >>= 1
    return res

n = int(input())
print(cal(n // 2) * cal((n + 1) // 2) % mod)

java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static long mod = (int) (1e9+7);

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();

        int mod = (int) 1e9 + 7;
        int res = (int) (qmi(10, n/2 - 1) * qmi(10,(n+1)/2-1) % mod);
        System.out.println(res);
        scan.close();
    }

    private static long qmi(long a, long b) {
        long res= 45L *(b+1)%mod;

        while(b>0) // 快速幂
        {
            if((b&1)==1) res = res * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
}

题目描述

给定一个只含数字的字符串， 例如$1233$ , 其奇数位的数位和为:$1+3 = 4$ , 偶数位的数位和位$2+3 = 5$ (奇数位指下标是奇数的位置，偶数位指下标是偶数的位置，下标从1开始。)

奇偶权值$f(s)$为:奇数位的和乘以偶数位的和。 $f(1233) = 4 * 5 = 20$

请计算所有长度为$n$的数字串(可以有前导零)的奇偶权值的和是多少?

输入描述

一行正整数$n \leq 1e9$

输出描述

输出一个非负整数，表示权值和。

答案可能太大，请对$10^9+7$取模后再输出。

样例

输入

2

输出

2025

输入

3

输出

40500