思路：概率DP

首先，我们需要计算攻击每个怪物失败的概率。对于每个怪物，我们有四种可能的结果：成功，失败一次，失败两次，失败三次

然后，我们使用动态规划计算攻击所有怪物失败的概率。我们定义$f[i][j]$为攻击前$i$个怪物，失败次数为$j$的概率。对于第i个怪物，我们有四种可能的失败次数（0，1，2，3），我们需要将这四种情况的概率累加到f[i][j]中。

最后，我们计算攻击怪物的期望。对于每个失败次数i，我们将$f[n][i]*(i/3)$累加到结果中。这是因为每失败三次，就会爆发一次小宇宙，所以失败次数$i$对应的小宇宙爆发次数为$i/3$。

代码

C++

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510;
double w[N],f[N][N*3],p[N][4];
int n;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){  //计算攻击每个怪物，失败次数为j的概率
		p[i][0] = (1.0-w[i]);
		p[i][1] = w[i]*p[i][0];
		p[i][2] = w[i]*p[i][1];
		p[i][3] = 1 - p[i][0] - p[i][1] - p[i][2];
    }
    f[0][0]=1.0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i*3;j++){
            for(int k=0;k<=3;k++){  //当前攻击这个怪物失败,失败的次数为k
                f[i][j+k]+=f[i-1][j]*p[i][k];  //上一次攻击的怪物失败的次数为j-k
            }
        }   
    }
    double res=0;  //计算攻击怪物的期望
    for(int i=0;i<=n*3;i++){
        res+=f[n][i]*(i/3);
    }
    cout<<fixed<<setprecision(9)<<res<<endl;
    return 0;
}

Java

import java.util.Scanner;
import java.text.DecimalFormat;

public class Main {
    static final int N = 510;
    static double[] w = new double[N];
    static double[][] f = new double[N][N * 3];
    static double[][] p = new double[N][4];
    static int n;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        n = scanner.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            w[i] = scanner.nextDouble();
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            p[i][0] = (1 - w[i]);
            p[i][1] = w[i] * p[i][0];
            p[i][2] = w[i] * p[i][1];
            p[i][3] = 1 - p[i][0] - p[i][1] - p[i][2];
        }
        f[0][0] = 1.0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= i * 3; j++) {
                for (int k = 0; k <= 3; k++) {
                    f[i][j + k] += f[i - 1][j] * p[i][k];
                }
            }
        }
        double res = 0;
        for (int i = 0; i <= n * 3; i++) {
            res += f[n][i] * (i / 3);
        }
        System.out.println(res);
    }
}

Python

n = int(input())
w = [0] + list(map(float, input().split()))
p = [[0]*4 for _ in range(n+1)]
f = [[0]*(n*3+1) for _ in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    p[i][0] = 1 - w[i]
    p[i][1] = w[i] * p[i][0]
    p[i][2] = w[i] * p[i][1]
    p[i][3] = 1 - p[i][0] - p[i][1] - p[i][2]

f[0][0] = 1.0
for i in range(1, n+1):
    for j in range(i*3+1):
        for k in range(4):
            if j + k <= i * 3:
                f[i][j+k] += f[i-1][j] * p[i][k]

res = 0
for i in range(n*3+1):
    res += f[n][i] * (i // 3)

print("{:.9f}".format(res))

题目描述

小红正在游玩一款魂类游戏。

这款游戏有$n$个BOSS，小红按BOSS编号从小到大的顺序挑战BOSS，挑战第$i$个BOSS时，有$p_i$的概率失败，$1-p_i$的概率成功。同时，当小红连续挑战一个BOSS失败三次时，下一次一定挑战成功。

小红每失败三次，就会爆发一次小宇宙。

小红想知道，当他挑战完所有的BOSS时，期望爆发多少次小宇宙？

输入描述

第一行一个整数$n$，代表BOSS的数量

第二行$n$个数字$p_i$，表示小红挑战第$i$个BOSS的成功概率为$p_i$，$p_i$精确到小数点后5位。

1$\leq n \leq 500$

$0 \lt p_i \leq 1$

输出描述

一个数字，代表期望爆发小宇宙的次数，要求精度误差不超过$10^{-5}$

样例

输入

2
0.50000 0.50000

输出

0.328125