k序列平均值和最小

思路：

假设$k=1$时，只能分为$1$个。

$k=2$时，我们要需要分为两个数组，假设原数组为arr，分开后的数组为$arr1$,$arr2$,那么我们讨论$arr1$存有几个数最好。

其实只有一个数是最好的，且这个数最小才是最好的，即$arr1$只要一个最小数，其他$n-1$个数在$arr2$.

证明：

我们对$arr$进行排序，那么假设$arr1=arr[0]$，所以平均值为和$arr[0]+(sum-arr[0])/(n-1)$，此时我们需要证明为何需要一个数，多个数可以吗

我们假设存在一个数$arr[i]$，其中$i>0$，让这个$arr[i]$并入$arr1$数组，那么平均值和为$(arr[0]+arr[i])/2+(sum-arr[0]-arr[i])/(n-2)$，我们发现平均值由左右两部分组成，左边部分增加了很多，而右边部分减少了一点，所以平均值会增加。当然这只是感性的证明，如果要严格点，需要将平均值的差值进行求解然后证明。

如果只能分一个数字，那么肯定是最小的，这个证明比较简单，假设存在一个树$arr[i]$，那么平均值和为$arr[i]+(sum-arr[i])/(n-1)$，和原始的平均值做个差值即可证明。

Java代码：

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int k = sc.nextInt();
        int[] a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] = sc.nextInt();
        Arrays.sort(a);
        double ans = 0;
        double sum = 0;
        for (int i = 0; i < k - 1; i++)
            ans += a[i];
        for (int i = k - 1; i < n; i++)
            sum += a[i];
        ans = ans + sum / (n - k + 1);
        System.out.println(ans);
    }
}

C++代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[100010];
int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin>>a[i];
    sort(a,a+n);
    double ans = 0;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < k - 1; i++)
        ans += a[i];
    for (int i = k - 1; i < n; i++)
        sum += a[i];
    ans = ans + sum / (n - k + 1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

python

line = list(map(lambda x: int(x), input().split()))
n,k = line[0],line[1]

numb = list(map(lambda x: int(x), input().split()))
numb.sort()
sum = 0.0
tt = 0
for i in range(k-1):
    sum += float(numb[i])
for i in range(n-k+1):
    tt += numb[k-1+i]
sum += float(tt/(n-k+1))
print("%.5f" % sum)

js

let line = readline().split(" ").map(Number);
let n = line[0], k = line[1];

let numb = readline().split(" ").map(Number);
numb.sort((a, b) => a - b);
let sum = 0.0;
let tt = 0;
for (let i = 0; i < k - 1; i++) {
  sum += numb[i];
}
for (let i = 0; i <= n - k; i++) {
  tt += numb[k - 1 + i];
}
sum += tt / (n - k + 1);
console.log(sum.toFixed(5));

题目内容

小红是一名数学家，他一直在研究一个关于序列划分的数学问题。他有一个长度为 $n$ 的数组，数组中的每个元素都是一个非负整数。他想将这个数组划分成 $k$ 个子序列，使得每个元素恰好在一个子序列中出现，且每个子序列都必须非空。他希望将这 $k$ 个子序列的平均数之和尽可能地小，这样他就能够更深入地研究这个问题。

为了解决这个问题，小红来到了你的面前，请求你帮助他找到一种最小化平均数之和的划分方案，使得这 $k$ 个子序列的平均数之和尽可能小。你能帮帮他吗？

注，子序列可以不连续。例如数组为 $[3,2,1,3]$ ， $k=2$ 时，子序列可以拆分为 $[3,1]$ 和 $[2,3]$

输入描述

第一行输入两个正整数 $n$ 和 $k$ ，代表数组的长度、子序列的数量。

第二行输入 $n$ 个正整数 $a_i$ ，代表数组的元素。 保证序列不含重复元素

$1\le k\le n\le 10^5$

$-10^9\le a_i \le 10^9$

输出描述

一个小数，代表最终平均数之和的最小值。保留5位小数

样例

输入

7 3
9 4 5 6 2 1 7

输出

9.20000