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解题思路

  • 核心观察:一次操作在区间内两两对称配对,使每对元素同时变为二者的按位或(OR),元素值只增不减(按位或的单调性与幂等性)。

  • 关键结论:通过对相邻长度为2的区间多次操作(如连续对 [1,2],[2,3],…,[n-1,n] 以及必要的回扫),任意位置的比特都能沿相邻对传播到整个数组。最终可以把所有元素都提升到全数组按位或

    V=⋁i=1naiV=\bigvee_{i=1}^{n} a_i V=i=1⋁n​ai​

P4240.第1题-最大数组的最小元素

    1000ms Tried: 49 Accepted: 19 Difficulty: 3 所属公司 : 中国电信
    算法与标签>位运算

题目内容

给定一个长度为n nn 的非负整数数组(a1,a2,…,an)(a1,a2,…,an) (a_1,a_2,…,a_n)(a_1, a_2, \dots, a_n)(a1​,a2​,…,an​)(a1​,a2​,…,an​)。 你可以进行任意次(可以为零次)如下操作:

  • 选择一个区间[l,r](1≤l≤r≤n) [l,r](1≤l≤r≤n )[l,r](1≤l≤r≤n);
  • 对区间内的每一个下标 iii,同时将区间内第iii个元素替换为它相邻的或更改后的值。 即,首尾、次首、次尾……的元素替换。更具体地,对区间[l,r][l,r] [l,r][l, r] [l,r][l,r]内所有满足 0≤k≤[(r−l)/2]0≤k≤[(r−l)/2]0≤k≤[(r−l)/2] 的整数 kkk,将al+ka_{l+k}al+k​ 和 ar−ka_{r-k}ar−k​ 的值同时更新为它们的原值按位 按位或 (OR) 的结果(即al+k or ar−k) a_{l+k }\ or\ a_{r-k})al+k​ or ar−k​)。

你的目标是最大化数组的最小元素,即最大化

min1≤i≤n aimin_{1 \le i \le n}\ a_imin1≤i≤n​ ai​

请输出能达到的最大可能值。

输入描述

每个测试文件均包含多组测试数据。第一行输入一个整数t(1≦t≦105)t (1 ≦t≦10^5)t(1≦t≦105)表示测试用例组数,每组测试数据描述如下:

第一行输入一个整数n(1≦n≦2×105)n(1≦n ≦2×10^5)n(1≦n≦2×105),表示数组的长度。

第二行输入nnn个整数a1,a2,...,an(0≦ai≦109)a_1,a_2,...,a_n(0 ≦a_i≦10^9)a1​,a2​,...,an​(0≦ai​≦109),表示数组中的元素。

除此之外,保证单个测试文件的nnn之和不超过2×1052×10^52×105

输出描述

对于每组测试数据,新起一行输出一个整数,表示通过若干次操作后,数组最小元素的最大可能值。

样例1

输入

2
3
1 2 3
5 
6 6 6 6 6

输出

3
6

说明

  • 数组为{1,2,31,2,31,2,3},选择区间[1,2][1,2][1,2]数组变为{3,3,33, 3,33,3,3}此时数组最小值最大。

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