这道题要做两件事：

1. 对给定的 logits（未归一化分数）做 Softmax 变换，得到每一类的概率分布 probs；
2. 用得到的 probs 和 One-hot 标签 labels 计算 交叉熵损失（Cross Entropy Loss）。

关键点有两个：

• Softmax 计算要数值稳定，否则 exp(logits[i]) 可能溢出；
• 交叉熵损失在 One-hot 标签下，只会用到真实类别对应的那一个概率。

下面按步骤拆开讲。

Softmax 的实现（带数值稳定）

Softmax 定义为：

$$p_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}$$

直接计算 exp(z_i) 可能出现数值溢出，因此常见做法是减去最大值：

$$p_i = \frac{e^{z_i - \max(z)}}{\sum_j e^{z_j - \max(z)}}$$

因为对所有 $i$ 来说：

$$\frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}} = \frac{e^{z_i - C}}{\sum_j e^{z_j - C}}$$

对任意常数 $C$ 都成立，我们取 $C = \max(z)$，就能避免指数过大。

代码对应为：

max_logit = max(logits)                                  # 最大值
exp_shifted = [math.exp(x - max_logit) for x in logits]  # 先减再 exp
sum_exp = sum(exp_shifted)                               # 分母
probs = [v / sum_exp for v in exp_shifted]               # Softmax 概率

最终 probs 是一个与 logits 等长的列表，且满足：

• 每个元素在 (0, 1) 之间；
• 所有元素之和为 1（在浮点误差范围内）。

交叉熵损失的实现

交叉熵定义为：

$$L = -\sum_{i=1}^{n} y_i \log(p_i)$$

在本题标签是 One-hot 的前提下，只有真实类别那一项 $y_k = 1$，其它都是 0，于是损失就简化为：

$$L = -\log(p_k)$$

因此在代码里可以简单写成：

eps = 1e-15   # 避免 log(0)
loss = 0.0
for y, p in zip(labels, probs):
    if y == 1:
        loss -= math.log(max(p, eps))

这里 max(p, eps) 是为了防止 p 特别小导致 log(0) 或数值问题。

python实现

import math
from typing import List, Tuple

class Solution:
    def softmax_cross_entropy(self, logits: List[float], labels: List[int]) -> Tuple[List[float], float]:
        # ---------- 1. 计算 Softmax 概率（数值稳定版） ----------
        # 减去最大值，防止 exp 溢出
        max_logit = max(logits)
        exp_shifted = [math.exp(x - max_logit) for x in logits]
        sum_exp = sum(exp_shifted)
        probs = [v / sum_exp for v in exp_shifted]

        # ---------- 2. 计算交叉熵损失 ----------
        # 损失: L = -sum(y_i * log(p_i))
        # 在 one-hot 情况下，只会取到 y_i=1 对应的那一项
        eps = 1e-15
        loss = 0.0
        for y, p in zip(labels, probs):
            if y == 1:
                # 防止 log(0)
                loss -= math.log(max(p, eps))

        return probs, loss

题目描述：

你需要实现一个函数，计算 Softmax 概率分布和 交叉熵损失（Cross Entropy Loss）。

给定一组未归一化的对数概率（logits）列表 logits 和对应的 One-hot 标签列表 labels。 请你计算并返回：

1. 经过 Softmax 变换后的概率列表 probs。
2. 模型预测与真实标签之间的交叉熵损失值 loss。

数学公式

设 $z$ 为 logits 列表，$y$ 为 labels 列表，长度均为 $n$。

1. Softmax 概率 $p_i$ 的计算公式：

   $$p_i = \text{Softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{n} e^{z_j}}$$

2. 交叉熵损失 $L$ 的计算公式：

   $$L = -\sum_{i=1}^{n} y_i \log(p_i)$$

   (注意：对数底数为 natural logarithm, 即 $\ln$)

输入参数：

• logits: 包含 $n$ 个浮点数的列表。
• labels: 包含 $n$ 个整数（0 或 1）的列表，且其中恰好有一个元素为 1（One-hot 编码）。

返回值：

• 返回一个元组 (probs, loss)：

  • probs: 包含 $n$ 个浮点数的列表，表示 Softmax 概率。
  • loss: 一个浮点数，表示交叉熵损失。

示例 1：

输入：

logits = [2.0, 1.0, 0.1]
labels = [0, 1, 0]

输出：

probs = [0.6590, 0.2424, 0.0986]
loss = 1.4170

解释：

1. 计算 Softmax 分母：$e^2 + e^1 + e^{0.1} \approx 7.389 + 2.718 + 1.105 = 11.212$

2. 计算概率： $p\_0 \approx 7.389 / 11.212 \approx 0.6590$

   $p\_1 \approx 2.718 / 11.212 \approx 0.2424$

   $p\_2 \approx 1.105 / 11.212 \approx 0.0986$

3. 计算损失：由于标签是 [0, 1, 0]，只有第 2 项参与计算。 $L = -1 \cdot \ln(0.2424) \approx 1.4170$

提示

• $1 \le n \le 1000$
• $-100 \le logits[i] \le 100$
• labels 长度等于 logits 长度，且严格符合 One-hot 编码（只有一个 1，其余为 0）。