解题思路

1. 二维循环

   • 定义 dp[i][j]：只用前 i 件物品、容量不超过 j 的最大价值。
   • 转移：当 j ≥ v[i] 时 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - v[i]] + w[i])；否则 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
   • 直观易懂，但空间 O(NV)。

2. 滚动数组优化

题面描述

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式

• 第一行两个整数 $N, V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容量。
• 接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i, w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

• $0 < N, V \le 1000$
• $0 < v_i, w_i \le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

8