解题思路

为了最小化总校验开销 $S = \sum_{1 \le i < j \le n} (a_i \oplus a_j)$，可以利用异或运算按位独立的性质。对于二进制下的第 $t$ 位（权重 $2^t$），设该位为 $1$ 的编号个数为 $c_t$，则这一位对 $S$ 的贡献为 $c_t \times (n - c_t) \times 2^t$。为了最小化该贡献，希望每一位的 $c_t$ 尽可能接近 $0$ 或 $n$，即所有编号在该位上尽量保持一致。尤其对于高位而言，一旦出现 $0$ 与 $1$ 混杂，代价会很大。

基于以上分析，一种最优策略是：

1. 找到最小的 $2$ 的幂 $p = 2^k$，使得 $p \ge n$。
2. 令分配的 $n$ 个编号为 $a_i = p + (i - 1)$，其中 $i = 1, 2, \dots, n$。
   • 此时所有编号的二进制第 $k$ 位（即 $p$ 所对应的位）都为 $1$，更高位全为 $0$，因此这些高位对 $S$ 的贡献为零。