解题思路

本题要求找到正整数 $x$ 拆分成若干个大于 $1$ 的正整数的乘积后，这些整数的“得分”（即正因子个数）之和的最大值。设 $c(n)$ 表示 $n$ 的正因子个数，我们的目标是最大化 $\sum c(a_i)$ 。

经过分析可以发现，最优拆分方案总是以下两种情况之一：

完全不拆分：直接将 $x$ 作为一个整体，此时得分总和为 $c(x)$ 。
按“指数层”拆分：将 $x$ 的质因数按指数分层，每一层取出所有可用的质数相乘，构成一个“平方自由”的因子，然后将这些因子相乘得到 $x$ ，此时得分总和等于各层因子得分之和。

题目内容

定义正整数 $n$ 的得分为它的正因子个数，记作 $c(n)$ 。

给定一个正整数 $x$ ，你可以将其表示为 $k$ 个大于 $1$ 的正整数 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 的乘积（ $k\ge 1$ ），即 $x = a_1 \times a_2 \times \dots \times a_k$ 。