解题思路

本题的核心在于分析交换操作的免费条件，并根据不同的 $k$ 取值，将最少体力消耗转化为不同的逆序对统计问题。货箱的优先级编号恰好是 $1$ 到 $n$ 的一个排列，记为 $a_1, a_2, \dots, a_n$。

• 情况一：$k \ge 3$ 由于交换时优先级差的绝对值大于 $1$ 时不消耗体力，且允许交换的两个货箱优先级差值最大为 $k$（至少为 $3$）。借助差值为 $2$ 或以上的免费交换，可以在不消耗任何体力的情况下连通任意两个货箱，并完成整个排列的排序。因此答案为 $0$。

• 情况二：$k = 1$ 此时只允许交换优先级差值为 $1$ 的货箱，每次交换恰好消耗 $1$ 单位体力。这等价于只能进行相邻元素的交换。将一个排列通过相邻交换变为升序所需的最少交换次数，等于原排列的逆序对总数。每消除一个逆序对至少需要一次相邻交换，而存在一种交换顺序使得总消耗恰好等于逆序对数。因此答案为 $\sum_{1 \le i < j \le n} [a_i > a_j]$，可以使用归并排序在 $O(n \log n)$ 时间内求出。