题目内容

在一所推行个性化教学的学校中，系统收集了 $N$ 名学生对于 $M$ 道习题的掌握程度评分，评分范围是 $1$ 到 $5$ 的整数，数字越大表示掌握越好。如果某位学生尚未作答某道习题，则对应位置用 $0$ 表示。

现在要为编号为 $U$ 的学生推荐他最值得练习的前 $T$ 道习题。推荐过程采用基于用户的协同筛选方法：首先计算所有学生之间的相似度，然后根据与目标学生最相似的 $K = 3$ 名学生的作答情况，预测目标学生在其未作答习题上的可能评分，最后输出预测评分最高的前 $T$ 道习题的编号。

相似度采用皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）计算。对于学生 $u$ 和学生 $v$，设 $I_{uv}$ 为两人都作答过的习题集合，$r_{u,i}$ 为学生 $u$ 对习题 $i$ 的评分，$\bar{r}_u$ 为学生 $u$ 所有已作答习题的平均评分（若未作答任何习题，则 $\bar{r}_u = 0$），则相似度定义为：