题目内容

本题只允许借助 numpy。请对训练集做主成分分析，并且只保留能量最大的那一维，再向测试集汇报下面三项：

1. 该方向的向量 $v$，长度等于特征维数 $d$
2. 训练集落在这个方向上的方差比例 $ratio$
3. 测试集各样本投到这个方向之后的坐标 $proj$

计算按下面的次序进行。

1. 只减去均值，不要按每个特征再做缩放

• 训练集均值：$\mu=\mathrm{mean}(train,\ axis=0)$
• 去掉均值后的矩阵：$Z=X-\mu$
• 测试样本投影时必须减这同一个 $\mu$，即 $(x-\mu)\cdot v$

2. 对去掉均值后的矩阵做奇异值分解，取出第一条右奇异方向

把 $Z$ 分解成 $Z=P\Sigma Q^{T}$。

方向取 $v=Q^{T}[0]$。

3. 方向的正负按同一套规矩固定

$v$ 和 $-v$ 表示同一条轴。本题规定：

• 在 $v$ 的各个分量中，找到绝对值最大的那个，记下下标 $t$；若有几个并列，取更靠前的下标
• 当 $v[t]<0$ 时，令 $v=-v$

4. 方差比例按样本个数平均，不做无偏修正（$ddof=0$）

• 总方差：$\displaystyle E=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\|x_i-\mu\|_2^2$
• 这条方向上的方差由最大奇异值给出：$\displaystyle E_1=\frac{\sigma_1^2}{n}$
• 比例：$\displaystyle ratio=\frac{E_1}{E}$

输入描述

输入是单独的一行 JSON 文本：

{"train":[[...],[...],...],"test":[[...],[...],...]}

• $train$：共 $n$ 条训练记录，一条里面放 $d$ 个特征数，$1<n<20$，$1<d<10$
• $test$：另有 $m$ 条待测记录，一条里面同样放 $d$ 个特征数，$1<m<20$
• 各个位置都有数值，不会空缺

输出描述

输出也是单独的一行 JSON。三个键必须按 $component$、$ratio$、$proj$ 这个次序出现，冒号紧后面和逗号紧后面都不要留空白：

{"component":[...],"ratio":0.123456,"proj":[...]}

• $component$：方向 $v$，长度是 $d$，每个数保留 $6$ 位小数
• $ratio$：方差比例，保留 $6$ 位小数
• $proj$：测试投影，长度是 $m$，每个数保留 $6$ 位小数

补充说明

评测只接受 numpy，不要调用现成的主成分接口。每个小数先用 $round$ 收到 $6$ 位，再写入这一行 JSON。

样例1

输入

{"train":[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]],"test":[[0,0],[2.5,2.5],[5,5]]}

输出

{"component":[0.707107,0.707107],"ratio":1.000000,"proj":[-3.535534,0.000000,3.535534]}

说明

四条训练样本是 $(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$、$(4,4)$，均值 $\mu=(2.5,2.5)$。去掉均值后，四点落在同一条对角线上，方向是单位向量 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，收到六位小数就是 $0.707107,0.707107$。两个分量绝对值相同，更靠前的下标是 $0$，而且该分量为正，不用取反。

到均值的平方距离之和是 $4.5+0.5+0.5+4.5=10$，总方差为 $10/4=2.5$，并且全部落在这条方向上，所以 $ratio=1.000000$。

测试样本 $(0,0)$、$(2.5,2.5)$、$(5,5)$ 减去均值后，与方向点乘再收到六位小数，得到 $-3.535534$、$0.000000$、$3.535534$。

样例2

输入

{"train":[[0,0],[4,1],[0,8],[4,9]],"test":[[2,4],[0,9]]}

输出

{"component":[0.080830,0.996728],"ratio":0.806474,"proj":[-0.498364,4.323615]}

说明

这四条训练样本的均值是 $(2,4.5)$。第二维从 $0$ 摆到 $9$，第一维只在 $0$ 与 $4$ 之间，所以方向几乎贴着第二维。四点并不共线，$ratio=0.806474$。

$(2,4)$ 减去均值后是 $(0,-0.5)$，点乘再收到六位小数为 $-0.498364$。$(0,9)$ 减去均值后是 $(-2,4.5)$，点乘再收到六位小数为 $4.323615$。