题目内容

实现逻辑回归二分类算法。

给定训练数据（$3$ 维特征 $+$ 标签）和测试数据，使用梯度下降训练模型，输出测试样本的预测类别和概率。

算法步骤：

1. 初始化：权重 $W = 0$，偏置 $b = 0$。
2. 前向传播：$z = XW + b$，$p = \mathrm{sigmoid}(z)$。
3. 梯度下降：$W \leftarrow W - \alpha \cdot \dfrac{1}{n} X^{T}(p - y)$，$b \leftarrow b - \alpha \cdot \mathrm{mean}(p - y)$。
4. 终止条件：达到最大迭代次数或损失变化 $< tol$。
5. 预测：概率 $\ge 0.5$ 预测为 $1$，否则为 $0$。

输入描述

第一行包含四个数：训练样本数 $n$、最大迭代次数 $max\_iter$、学习率 $\alpha$、损失阈值 $tol$。

（$1 \le n \le 500$，$1 \le max\_iter \le 10000$，$0 < \alpha \le 1$，$0 < tol < 1$）

接下来 $n$ 行，每行 $4$ 个数：前 $3$ 个为特征（年收入、负债比率、信用历史），第 $4$ 个为标签（$0$ 或 $1$）。

下一行为测试样本数 $m$（$1 \le m \le 100$）。

接下来 $m$ 行，每行 $3$ 个数为测试特征。

输出描述

输出 $m$ 行，每行一个整数（预测类别 $0$ 或 $1$）和一个浮点数（预测概率，保留 $4$ 位小数），用空格分隔。

样例 $1$

输入

6 1000 0.1 0.0001
50 0.2 5 0
30 0.6 2 1
80 0.1 10 0
25 0.8 1 1
60 0.3 8 0
35 0.7 3 1
2
45 0.75 6
28 0.75 2

输出

0 0.0000
0 0.0000

说明

按题目「算法步骤」严格执行：权重 $W$ 和偏置 $b$ 都初始化为 $0$，学习率 $\alpha = 0.1$，最大迭代 $1000$ 次，损失阈值 $tol = 0.0001$。

训练完成后对两个测试样本计算 $z = XW + b$，再通过 sigmoid 得到预测概率，两个概率都小于 $0.5$，因此都预测为「正常（$0$）」。

注意：如果你的实现得到 $0.2531 / 0.8934$ 之类的非极端概率，通常是因为你额外做了特征归一化（标准化或最小-最大缩放）。本题严格按题目算法步骤执行（不含归一化），按标准实现的实际输出就是 0 0.0000 / 0 0.0000。

样例 $2$

输入

4 500 0.05 0.001
20 0.1 1 1
100 0.1 15 0
70 0.2 8 0
25 0.85 2 1
1
50 0.5 5

输出

1 0.5347