题目内容

在模型量化中，通常需要将高精度数据类型（如 float）转换为低精度整数类型（如 int8）。一种常见的线性量化方式如下。

量化公式：

反量化公式：

其中，$r$ 表示原始浮点数，$q$ 表示量化后的整数，$s$ 表示缩放因子。对于 $n$ bit 量化，缩放因子可以计算为：

利用上述方法，可以按行或按列将浮点矩阵量化为整数矩阵，同时为每一行或每一列额外保存一个缩放因子。

为了进一步避免在计算过程中使用浮点数，还可以将缩放因子 $s$ 表示为两个整数 $a$ 和 $b$：

这样，缩放因子之间的乘法和加法就可以转化为整数运算、移位和加法操作。

例如：

对于乘法：

对于加法，可以先将两个数对齐到相同的指数：

现在需要根据以上规则，完成矩阵的全整型量化与乘法计算。

给定已经完成全整型量化的矩阵 $A$，以及尚未量化的浮点矩阵 $B$，请计算矩阵乘积 $C=A\times B$，并以全整型量化的形式输出结果矩阵 $C$。

输入

第一行输入三个整数：

m k n

表示矩阵 $A$ 的大小为 $m\times k$，矩阵 $B$ 的大小为 $k\times n$。

接下来输入 $m$ 行，每行包含 $k+2$ 个整数：

• 前 $k$ 个整数表示矩阵 $A$ 当前行量化后的整数值，取值范围为 [-127,127]；
• 最后两个整数分别为 $a$ 和 $b$，表示当前行对应的缩放因子：

其中：

• $a$ 的取值范围为 [0,127]；
• $b$ 的取值范围为 [0,30]。

接下来输入矩阵 $B$。

为了便于按列进行量化，输入按照 $B^T$ 的形式给出，即接下来输入 $n$ 行，每行包含 $k$ 个浮点数，其中第 $i$ 行表示矩阵 $B$ 的第 $i$ 列。

输出

输出全整型量化后的结果矩阵 $C$。

矩阵 $C$ 的大小为 $m\times n$，每个元素使用三个整数表示，依次为：

量化值 scale的a scale的b

其中对应的缩放因子为：

矩阵 $B$ 在量化时采用 8 bit 量化，即量化后的整数范围为 [-127,127]。

需要注意，结果矩阵中的“量化值”是两个整数量化向量的点积，因此不需要再次限制在 [-127,127] 范围内。

结果的缩放因子也无需进行约分。

样例 1

输入

2 2 2
64 127 65 12
95 127 65 11
1.0 3.0
2.0 4.0

输出

18817 6305 24 20225 4225 23
20119 6305 23 22209 4225 22

说明

输出共有 $2$ 行，每行包含 $2$ 个结果元素。

每个结果元素均使用三个整数表示，分别对应量化值以及缩放因子的 $a$、$b$。

样例 2

输入

2 2 1
64 127 65 12
95 127 65 11
1.0 3.0

输出

18817 6305 24
20119 6305 23

说明

矩阵 $A$ 的大小为 $2\times2$，矩阵 $B$ 的大小为 $2\times1$，因此结果矩阵 $C$ 的大小为 $2\times1$。

矩阵 $A$ 的第一行原始数据为 [1,2]，量化后为 [64,127]，对应缩放因子为：

矩阵 $A$ 的第二行原始数据为 [3,4]，量化后为 [95,127]，对应缩放因子为：

矩阵 $B$ 的第一列为 [1.0,3.0]。

使用 8 bit 量化后得到：

[42,127]

对应的缩放因子表示为：

计算 $A$ 的第一行与 $B$ 的第一列的整数点积：

对应的缩放因子为：

因此第一个结果元素输出为：

18817 6305 24

同理，第二个结果元素为：

20119 6305 23

提示

量化后每个整数的取值范围为 [-127,127]。

缩放因子中，$a$ 的取值范围为 [0,127]，$b$ 的取值范围为 [0,30]。

输出结果无需约简。