题目内容

某设备在正常运行期间积累了一批传感器数据作为"基准样本"。现在设备产生了一批新的监测数据，希望基于基准样本蕴含的主要变化模式，判断新数据是否存在明显偏离。

请使用 PCA（主成分分析）重建误差方法实现异常检测，严格遵循以下步骤：

1. 缺失值填补：对每一维特征，计算基准数据中该维所有非缺失值的均值，用该均值同时填补基准数据和待检测数据中的缺失值。

2. 标准化：使用 StandardScaler 在基准数据上拟合，然后对基准数据和待检测数据分别进行变换。

3. PCA 投影与重建：使用 PCA（参数 n_components=0.95，svd_solver='full'）在基准数据上拟合。将两个数据集分别投影到主成分空间后逆变换得到重建结果。

4. 偏离分数：对每个样本，计算其标准化结果与 PCA 重建结果之间的平方误差之和作为偏离分数。

5. 判定边界：取基准数据全部偏离分数的第 95 百分位数作为阈值 $\tau$。待检测样本的偏离分数若大于 $\tau$ 则判定为异常（1），否则为正常（0）。

注意：标准化和 PCA 均只能在基准数据上拟合，不能使用待检测数据参与拟合。

约束条件：基准样本数 $n$ 和待检测样本数 $m$ 均不超过 20，特征维度 $d$ 不超过 10。

输入描述

输入为 JSON 格式，包含两个字段：

• train：二维数组，大小为 $(n, d)$，表示基准样本（均为正常样本）；
• test：二维数组，大小为 $(m, d)$，表示待检测样本。

每个特征值可以是整数、浮点数或 null（表示缺失）。

输出描述

输出一个 JSON 数组，依次存放每个待检测样本的判定标签：0 表示正常，1 表示异常。标签之间用空格分隔。

样例1

输入

{"train": [[1,3],[2,5],[3,7],[4,9],[5,11]],"test": [[2.5,6],[3,20],[4,9.1]]}

输出

[0, 1, 1]

说明

基准数据近似满足 $y \approx 2x+1$ 的线性关系，PCA 可以很好地捕捉这一模式。

第一个待检测样本 $(2.5,6)$ 恰好落在该线性趋势上，重建误差极小，判定为正常 0。

第二个样本 $(3,20)$ 严重偏离线性趋势，重建误差远超阈值，判定为异常 1。

第三个样本 $(4,9.1)$ 偏离线性趋势较明显（预期约 $9$），也被判定为异常 1。

样例2

输入

{"train": [[10,20],[20,30],[30,40],[40,50]],"test": [[15,null],[null,35],[35,45]]}

输出

[1, 0, 0]

说明

基准数据满足 $y \approx x+10$ 的线性关系。

第一个待检测样本 $(15,\text{null})$：缺失值用基准数据第二维均值 $35$ 补全，得到 $(15,35)$。该点明显偏离线性趋势，判定为异常 1。

第二个样本 $(\text{null},35)$：缺失值用第一维均值 $25$ 补全，得到 $(25,35)$，符合趋势，判定为正常 0。

第三个样本 $(35,45)$：符合 $y=x+10$ 趋势，正常 0。

样例3

输入

{"train": [[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9],[4,8,12]],"test": [[2.5,5,7.5],[3,6,20],[1.5,3,4.5]]}

输出

[0, 1, 0]

说明

基准数据三维特征之间具有明显的比例关系（$1:2:3$），PCA 能有效压缩维度。

第一个样本 $(2.5,5,7.5)$ 符合比例关系，重建误差小，正常 0。

第二个样本 $(3,6,20)$ 第三维严重偏离比例关系（应为 $9$ 却是 $20$），重建误差大，异常 1。

第三个样本 $(1.5,3,4.5)$ 符合比例，正常 0。