题目内容

在大模型训练的流水线并行（Pipeline Parallelism，PP）场景中，模型会按层拆分到多张加速卡（NPU/GPU）上。PP 数值等于并行阶段数或使用的加速卡数量，其选择会直接影响训练效率。

设模型总层数为 $L$，单卡最大承载层数为 $C$，micro batch 数目为 $m$，硬件总卡数为 $T$。对于候选值 $PP$，称其为可行值，当且仅当同时满足：

• $PP \le T$；
• $L$ 能被 $PP$ 整除；
• $\frac{L}{PP} \le C$。

对任意可行 PP，其气泡率定义为：

其中 $m$ 为 micro batch 数目。气泡率越小，设备利用率越高。

要求在满足以下优先级的前提下选择最优方案：

• 首先保证 PP 是可行值；
• 其次最小化气泡率；
• 若多个可行 PP 的气泡率相同，则选择更小的 PP。

最终需要输出最优 PP 值以及对应的气泡率，气泡率四舍五入保留四位小数。如果没有可行 PP，或输入参数不合法，输出 -1 -1。

输入描述

输入包含一行，其中有四个由空格分隔的整数，依次表示模型总层数、单卡最大承载层数、micro batch 数目和硬件总卡数。

输出描述

如果存在可行 PP，输出一行两个用空格分隔的值：最优 PP 值和一个保留四位小数的气泡率。如果不存在可行 PP，或输入参数个数不是四个，或任意一个参数不是正整数，则输出 -1 -1。

样例1

输入

1 1 1 1

输出

1 0.0000

说明

输入为 1 1 1 1，即 $L=1$，$C=1$，$m=1$，$T=1$。
可行 PP 需要同时满足 $PP \le T$、$L$ 能被 $PP$ 整除、$\frac{L}{PP} \le C$。
这里 $PP=1$ 满足全部条件，因此它是最优可行值。

气泡率为 $\frac{PP-1}{m+PP-1}=\frac{0}{1}=0$，保留四位小数为 0.0000。
所以输出 1 0.0000。

样例2

输入

12 3 5 6

输出

4 0.3750

说明

输入为 12 3 5 6，即 $L=12$，$C=3$，$m=5$，$T=6$。
首先需要满足 $\frac{L}{PP} \le C$，即 $PP \ge \lceil \frac{12}{3} \rceil = 4$。
同时 $PP$ 必须是 $12$ 的约数，并且 $PP \le 6$。

$12$ 的约数中满足 $4 \le PP \le 6$ 的有 $4$ 和 $6$。
其中最小可行 PP 为 $4$。

气泡率为 $\frac{4-1}{5+4-1}=\frac{3}{8}=0.375$，保留四位小数为 0.3750。
因此输出 4 0.3750。

样例3

输入

12 3 -1 6

输出

-1 -1

说明

输入为 12 3 -1 6。
参数中出现了负数 -1，不满足所有参数必须为正整数的要求。
因此该输入不合法，直接输出 -1 -1。

样例4

输入

10 2 7 5

输出

5 0.3636

说明

输入为 10 2 7 5，即 $L=10$，$C=2$，$m=7$，$T=5$。
需要满足 $PP \ge \lceil \frac{10}{2} \rceil = 5$，同时 $PP$ 是 $10$ 的约数，且 $PP \le 5$。

$10$ 的约数中满足这些条件的只有 $5$。
因此最优 PP 为 $5$。

气泡率为 $\frac{5-1}{7+5-1}=\frac{4}{11}=0.363636\cdots$，四舍五入保留四位小数为 0.3636。
所以输出 5 0.3636。