题目内容

空洞卷积（膨胀卷积）是卷积神经网络中扩大特征感受野且不增加参数 / 计算量的核心操作，广泛应用于语义分割等任务，本题要求基于原生语法 / 标准库手动实现单通道 $2D$ 空洞卷积的底层逻辑，禁止调用任何卷积相关高级库函数。

计算逻辑详细步骤

步骤 1：输入特征图的 Padding 填充

对输入的 $H \times W$ 二维特征图进行常数 $0$ 填充：在特征图的上下方向各填充 $padding$ 层 $0$，左右方向也各填充 $padding$ 层 $0$，得到尺寸为 $(H+2 \times padding) \times (W+2 \times padding)$ 的填充后特征图。

步骤 2：计算有效卷积核尺寸与输出特征图尺寸

有效卷积核尺寸（膨胀后的实际感受野尺寸）：设原始卷积核尺寸为 $K \times K$（$K$ 为奇数），膨胀率为 $dilation$（记为 $d$），则有效核尺寸公式为：

（$d=1$ 时，$K_{eff}=K$，等价于普通卷积）

输出特征图尺寸：设输入特征图原始尺寸为 $H_{in} \times W_{in}$，步长为 $stride$（记为 $s$），填充为 padding（记为 $p$），则输出特征图的高和宽分别为：

步骤 3：滑动窗口遍历与空洞卷积核心计算

窗口滑动规则：以步长 $stride$ 为间隔，在填充后的特征图上滑动有效尺寸为 $K_{eff}$ 的窗口，窗口总数对应输出特征图的 $H_{out} \times W_{out}$ 个位置；

空洞卷积乘加规则：对每个滑动窗口，无需给卷积核插入空洞（$0$），而是按膨胀率 $dilation$ 间隔选取窗口内的元素与原始卷积核逐元素相乘：

• 设当前窗口在填充后特征图的起始坐标为 $(i_{start}, j_{start})$；
• 遍历原始卷积核的每个位置 $(i_k, j_k)(0 \le i_k < K, 0 \le j_k < K)$，计算该位置对应填充后特征图的坐标：$i_{in}=i_{start}+i_k \times d$，$j_{in}=j_{start}+j_k \times d$；
• 若 $(i_{in}, j_{in})$ 在填充后特征图的有效范围内，将填充后特征图的元素 $padded[i_{in}][j_{in}]$ 与卷积核元素 $kernel[i_k][j_k]$ 相乘，并累加到当前窗口的结果中；
• 结果赋值：每个窗口的乘加累加结果作为输出特征图对应位置 $(i_{out}, j_{out})$ 的数值。

步骤 4：输出结果

将所有窗口的计算结果整理为 $H_{out} \times W_{out}$ 的二维矩阵，作为最终输出。

输入描述

输入特征图的大小（$H$ 和 $W$）

输入特征图的元素，共 $H×W$ 个，且全部为整数

卷积核的大小（$K$），为奇数

卷积核的元素，共 $K×K$ 个，且全部为整数

步长（$stride$）为 $≥1$ 的整数；

填充（$padding$）为正整数（仅支持常数 $0$ 填充，输入特征图上下左右各填充 $padding$ 层 $0$）；

膨胀率（$dilation$）为 $≥1$ 的整数（$dilation=1$ 时等价于普通 $2D$ 卷积）。

输出描述

逐行返回卷积后的二维特征图

样例1

输入

4 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
3
1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1
1
1
2

输出

-32 -8 -8 30
-20 -8 -8 18

说明

样例2

输入

3 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1
1
0
1

输出

-6

说明

输入和卷积核都是 $3×3$ 的矩阵，膨胀率为 $1$，此时等效于一个常规卷积
有效核尺寸 $=3+(3-1)×0=3$，输出尺寸 $=(3+0-3)/1+1=1×1$ 窗口内元素乘加：$1×1 + 2×0 + 3×(-1) + 4×1 + 5×0 + 6×(-1) + 7×1 + 8×0 + 9×(-1) = -8$

样例3

输入

5 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3
1 0 1 0 1 0 1 0 1
1
0
2

输出

5

说明

输入是 $5×5$ 的卷积，卷积核为 $3×3$ 的卷积
有效核尺寸 $=3+(3-1)×1=5$，输出尺寸 $=(5+0-5)/1+1=1×1$

按膨胀率 $2$ 选取输入元素（间隔 $1$个元素）：
输入窗口为 $5×5$，选取位置：$(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)$

乘加求和：$1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1 = 9$