题目内容

在环境监测任务中，研究人员收集了多个水样的物理化学特征（如 pH 值、浊度、溶解氧等），并已知其中一部分水样是否适宜饮用。请你仅使用基础数值计算工具，实现一套完整的二分类模型训练与预测流程。

1. 特征标准化：利用训练集计算每个特征的均值 $\mu$ 和总体标准差 $\sigma$（分母为样本数 $N$）。然后对训练集、验证集和测试集的所有特征进行缩放：$x' = \frac{x - \mu}{\sigma}$。若某一特征的 $\sigma = 0$，则将其置为 $1$ 以避免除零。

2. 模型定义：采用仿射变换后接逻辑函数 $\hat{y} = \frac{1}{1 + e^{-(w^\top x + b)}}$，其中 $w$ 为权重向量，$b$ 为偏置。损失函数由二分类交叉熵和权重向量的 $L_2$ 范数平方惩罚构成：

其中 $\lambda = 10^{-4}$。计算对数前需将 $\hat{y}_i$ 截断到 $[10^{-15}, 1-10^{-15}]$ 区间。

3. 优化算法：使用一种基于梯度一阶矩和二阶矩估计的自适应优化方法，超参数设置为：初始学习率 $0.01$，一阶矩衰减系数 $\beta_1 = 0.9$，二阶矩衰减系数 $\beta_2 = 0.999$，数值稳定常数 $\epsilon = 10^{-8}$。小批量大小为 $16$，不足 $16$ 时使用剩余样本。每个训练周期开始前，以固定种子 $42$ 生成的随机排列打乱训练集顺序。

4. 学习率调度：前 $5$ 个训练周期采用预热策略，学习率从 $0$ 线性增长到 $0.01$；第 $6$ 个周期及以后保持恒定 $0.01$。

5. 早停与模型恢复：最多训练 $100$ 个周期。每个周期结束后在验证集上计算损失。若连续 $10$ 个周期验证损失未较历史最佳损失下降超过 $10^{-6}$，则提前终止训练。训练完成后将模型参数恢复至验证损失最小的状态。

6. 预测与输出：用最终模型计算测试集每个样本的概率 $\hat{y} = \frac{1}{1 + e^{-(w^\top x + b)}}$。若 $\hat{y} \ge 0.5$ 则判定为正类（标签 $1$），否则为负类（标签 $0$）。按测试集顺序输出所有预测标签。

约束条件：

• 特征维度 $d \ge 1$，所有特征均为实数且无缺失值。
• 训练集、验证集和测试集的样本数量均不少于 $16$。
• 权重向量 $w$ 和偏置 $b$ 的初始值全部置为 $0$。

输入描述

输入只有一行，包含一个 JSON 对象。该对象有三个键：`"train"`、`"val"` 和 `"test"`。`"train"` 和 `"val"` 各自为一个二维数组，每一行由 $d$ 个实数特征和一个整数标签（0 或 1）组成；`"test"` 也是一个二维数组，每一行仅包含 $d$ 个实数特征，没有标签列。

输出描述

输出一行 JSON 数组，包含对 `"test"` 中每个样本的预测类别（整数 0 或 1），顺序与输入中测试样本的顺序一致。

样例1

输入

{"train":[[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1]],"val":[[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[0.0,0],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1],[2.0,1]],"test":[[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[2.0],[2.0],[2.0],[2.0],[2.0],[2.0],[2.0],[2.0]]}

输出

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

说明

本样例展示了最简单的一维特征二分类情形。训练集与验证集均包含 16 个样本，前 8 个特征值为 0.0 且标签为 0，后 8 个特征值为 2.0 且标签为 1。标准化后两类特征被明显分开，逻辑回归模型可以轻松学习到权重 $w > 0$ 及合适的偏置 $b$，从而在测试集上对前 8 个 0.0 输出 0，后 8 个 2.0 输出 1，全部预测正确。

样例2

输入

{"train":[[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1]],"val":[[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1],[0.0,1]],"test":[[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0],[0.0]]}

输出

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

说明

该样例测试了边界情况：所有样本的唯一特征取值恒为 0.0，标签恒为 1。由于训练集特征的标准差 $\sigma = 0$，按题目要求将 $\sigma$ 置为 1，标准化后特征全部变为 0。此时权重 $w$ 的梯度始终为 0，只有偏置 $b$ 参与更新。优化器会逐渐增大 $b$，使预测概率 $\hat{y} = \frac{1}{1+e^{-b}}$ 趋近于 1。最终模型对测试集全部 16 个特征为 0.0 的样本均输出 1。

样例3

输入

{"train":[[0.0,0.0,0],[0.0,1.0,0],[1.0,0.0,0],[1.0,1.0,1],[0.0,0.0,0],[0.0,1.0,0],[1.0,0.0,0],[1.0,1.0,1],[0.0,0.0,0],[0.0,1.0,0],[1.0,0.0,0],[1.0,1.0,1],[0.0,0.0,0],[0.0,1.0,0],[1.0,0.0,0],[1.0,1.0,1]],"val":[[0.0,0.0,0],[0.0,1.0,0],[1.0,0.0,0],[1.0,1.0,1],[0.0,0.0,0],[0.0,1.0,0],[1.0,0.0,0],[1.0,1.0,1],[0.0,0.0,0],[0.0,1.0,0],[1.0,0.0,0],[1.0,1.0,1],[0.0,0.0,0],[0.0,1.0,0],[1.0,0.0,0],[1.0,1.0,1]],"test":[[0.0,0.0],[0.0,1.0],[1.0,0.0],[1.0,1.0],[0.0,0.0],[0.0,1.0],[1.0,0.0],[1.0,1.0],[0.0,0.0],[0.0,1.0],[1.0,0.0],[1.0,1.0],[0.0,0.0],[0.0,1.0],[1.0,0.0],[1.0,1.0]]}

输出

[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1]

说明

本样例使用二维特征演示线性可分的数据。训练集和验证集均由 4 种特征组合各重复 4 次构成，共 16 个样本：

• $(0.0,0.0)$、$(0.0,1.0)$、$(1.0,0.0)$ 对应的标签为 0；
• $(1.0,1.0)$ 对应的标签为 1。 测试集也是同样的 4 种组合重复 4 次。特征经过标准化后，线性分类器会学习到合适的决策边界（例如 $x_1 + x_2 > 0.5$ 判为 1）。由于数据完全可分且训练集/验证集分布一致，模型在测试集上准确复现了真实的标签序列：每 4 个样本输出 [0, 0, 0, 1]，共计 16 个预测值。