题目内容

作为环境监测工程师，你有一组采样点：每个点记录了空间坐标以及该点的污染物浓度。现在需要预测另一批查询位置的浓度。你决定使用一种基于径向基函数的插值方法，其固定超参数和计算公式如下：

• 长度尺度 $\rho = 1.0$，信号方差 $\sigma_A^2 = 1.0$，噪声方差 $\sigma_\varepsilon^2 = 0.1$。
• 核函数（高斯型）：$$k(p,q) = \sigma_A^2 \exp\left(-\frac{\|p-q\|_2^2}{2\rho^2}\right)$$
• 记已知采样点的坐标矩阵为 $X$，对应浓度向量为 $y$。首先构造核矩阵 $K = k(X,X) + \sigma_\varepsilon^2 I$（$I$ 为单位阵）。
• 对于每一个查询位置 $x_*$，计算核向量 $k_* = k(X, x_*)$，然后给出预测浓度 $\hat{y} = k_*^T K^{-1} y$。