题目内容

风控实验室要给一批信贷样本拟合线性评分器。训练数据给出特征矩阵 $X$ 与标签 $\mathbf{y}$，测试数据只给出特征。实验室规定必须用手写的归一化梯度下降更新权重，且实现时只允许使用 $numpy$。

目标函数为

$f(\mathbf{w})=\dfrac{1}{2}\|X\mathbf{w}-\mathbf{y}\|_{2}^{2}+\lambda\|\mathbf{w}\|_{2}^{2}$。

梯度为 $abla f=X^{\top}(X\mathbf{w}-\mathbf{y})+2\lambda\mathbf{w}$。先把梯度归一化为单位 $L2$ 向量

$\hat{\mathbf{g}}=\dfrac{ abla f}{\max(\| abla f\|_{2},\varepsilon)}$，

其中 $\varepsilon=10^{-10}$。若 $\| abla f\|_{2}<\varepsilon$，或梯度中出现非有限值，则跳过本步更新但仍计入迭代次数。

学习率 $\eta_t=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{t}}$，$t=1,2,\ldots,T$。更新为 $\mathbf{w}_{t+1}=\mathbf{w}_t-\eta_t\hat{\mathbf{g}}$。

固定参数：$\eta_0=0.2$，$\lambda=0.01$，迭代步数 $T=60$。权重初值 $\mathbf{w}_0$ 为全 0 向量。

得到 $\mathbf{w}_T$ 后，对测试矩阵 $X_{\mathrm{test}}$ 计算 $\hat{y}=X_{\mathrm{test}}\mathbf{w}_T$，再取符号：结果 $\ge 0$ 记为 1，否则记为 0。

约束：训练样本数 $n$ 不超过 60，测试样本数 $m$ 不超过 15，特征维 $d$ 不超过 6。所有值为实数且不含缺失。

输入描述

标准输入仅一行 JSON 对象，包含三个键：train_X 为 $n \times d$ 的二维实数数组，train_y 为长度 $n$ 的实数数组，test_X 为 $m \times d$ 的二维实数数组。保证 $n \le 60$，$m \le 15$，$d \le 6$。

输出描述

输出一行 JSON 对象，包含键 weights 与 test_pred：weights 是长度 $d$ 的数组，每个分量用四舍五入保留 6 位小数；test_pred 是长度 $m$ 的数组，元素仅为 0 或 1。

样例1

输入

{"train_X":[[1,0],[0,1],[2,2]],"train_y":[0,0,1],"test_X":[[0.5,0.5],[3,3]]}

输出

{"weights": [0.221729, 0.221729], "test_pred": [1, 1]}

说明

共有 3 条训练样本、特征维为 2，以及 2 条测试样本。 按 $\eta_0=0.2$、$\lambda=0.01$ 迭代 60 步后得到权重，再对测试点取符号分类。

样例2

输入

{"train_X":[[0],[1],[2],[3]],"train_y":[0,0,1,1],"test_X":[[-2],[0.2],[2.5]]}

输出

{"weights": [0.35685], "test_pred": [0, 1, 1]}

说明

一维特征。迭代后权重为正，因此负测试点打分小于 0 判为 0，正测试点判为 1。 权重保留 6 位小数。

样例3

输入

{"train_X":[[-1,-1],[1,1],[-0.5,0.5]],"train_y":[0,1,0],"test_X":[[-2,-2],[2,2]]}

输出

{"weights": [0.248902, 0.248902], "test_pred": [0, 1]}

说明

训练点分布在不同象限。迭代结束后对两个测试点做线性打分并取符号。