题目内容

某数据分析任务需要根据一组数值特征预测二分类结果。训练数据中每行由多个特征和一个二元标签组成，标签值为 0 或 1。你需要实现一个带截距项的线性分类模型，并使用加权最小二乘迭代估计参数。实现时只能使用 numpy 和 pandas。

设训练特征矩阵为 $X$，最左侧增加一列全 1 作为截距项。参数向量 $w$ 初始化为零向量。对当前 $w$，先计算每个训练样本的概率 $p_i = \sigma(x_i \cdot w)$，其中 $\sigma(z) = 1/(1+e^{-z})$。令 $p$ 为所有 $p_i$ 组成的向量，对角矩阵 $W$ 的对角元为 $p_i(1-p_i)$。每次迭代更新：

其中 $y$ 为训练标签向量，$\epsilon = 10^{-6}$，$I$ 为单位矩阵。当 $\|w' - w\|_2 < 10^{-6}$ 时停止，或最多迭代 30 次。

预测时，对测试特征矩阵同样在最左侧增加一列全 1，计算 $\hat p_i = \sigma(x_i \cdot \hat w)$。若 $\hat p_i \ge 0.5$，则预测标签为 1，否则为 0。

保证所有输入数值均为整数或浮点数，无缺失项；训练集标签只为 0 或 1；测试集特征列数与训练集特征列数相同。

输入描述

标准输入只有一行，包含一个 JSON 对象。该对象包含两个键：train 和 test。train 是二维数组，每一行由若干数值特征和一个标签组成，标签为该行最后一个元素，取值为 0 或 1；test 是二维数组，仅包含数值特征，列数与 train 的特征列数相同。所有数值均为整数或浮点数，无缺失值。

输出描述

输出一行 JSON 数组，数组中的每个元素为对应测试样本的预测类别（0 或 1），顺序与输入 test 中样本顺序一致。

样例1

输入

{"train": [[0, 0], [1, 1]], "test": [[0.2], [0.8]]}

输出

[0, 1]

说明

训练集包含两个样本：特征 0 的标签为 0，特征 1 的标签为 1。使用带截距项的逻辑回归进行 IRLS 拟合时，由于两类线性可分，算法会学习到将 0.5 附近的特征值作为分界。

对于测试样本特征 $x$，预测概率为 $\hat p = \sigma(\hat w_0 + \hat w_1 x)$。当测试特征为 0.2 时，$\hat p < 0.5$，预测为 0；当测试特征为 0.8 时，$\hat p \ge 0.5$，预测为 1。最终输出 [0,1]。

样例2

输入

{"train": [[1.0, 2.0, 0], [2.0, 3.0, 0], [5.0, 6.0, 1], [6.0, 5.0, 1]], "test": [[1.5, 2.5], [5.5, 5.5]]}

输出

[0, 1]

说明

训练集中负类样本的特征大致位于 $(1.0, 2.0)$ 和 $(2.0, 3.0)$，正类样本位于 $(5.0, 6.0)$ 和 $(6.0, 5.0)$，两类在特征空间上线性可分。

经过 IRLS 迭代后，模型学习到的线性决策边界可以将两组样本分开。测试样本 $(1.5, 2.5)$ 位于负类一侧，其预测概率 $\hat p < 0.5$，预测为 0；测试样本 $(5.5, 5.5)$ 位于正类一侧，其预测概率 $\hat p \ge 0.5$，预测为 1。输出 [0,1]。

样例3

输入

{"train": [[0.5, 0], [1.0, 0], [1.5, 0]], "test": [[0.8], [2.0], [1.2]]}

输出

[0, 0, 0]

说明

该边界情况中，训练集所有标签都是 0。IRLS 从初始概率 0.5 开始，根据标签 0 不断向下调整预测概率，使模型倾向于输出负类。

测试样本特征分别为 0.8、2.0、1.2，经过训练后的 sigmoid 函数计算得到的概率均小于 0.5，因此全部预测为 0。最终输出 [0,0,0]。