题目内容

在多目标学习的推荐排序模型中，需要同时对点击率（CTR，Click-Through Rate）与转化率（CVR，Conversion Rate）进行预测。本题采用线性回归完成多目标建模：CTR 与 CVR 共享同一组特征权重，同时分别保留各自的任务特定偏置。

记样本数为 $n$，特征维数为 $d$，第 $i$ 个样本的特征向量为 $x_i$，共享权重为 $w$，两个任务的偏置为 $b_{\mathrm{CTR}}$、$b_{\mathrm{CVR}}$。预测为

训练使用联合损失

其中 $\alpha$ 为加权系数。均方误差是全体样本的算术平均，前面不乘 $\frac{1}{2}$：

$\mathrm{MSE}_{\mathrm{CVR}}$ 的定义相同。$w$、$b_{\mathrm{CTR}}$、$b_{\mathrm{CVR}}$ 全部从 $0$ 初始化。

参数用批量梯度下降更新，学习率为 $\eta$。记残差 $e^{\mathrm{CTR}}_i = \hat{y}^{\mathrm{CTR}}_i - y^{\mathrm{CTR}}_i$（CVR 同样用预测减标签）。一次迭代先用当前参数对全部样本做前向，得到残差后再计算梯度，然后同时更新三个参数：

两个偏置用同一批残差、按同样的方式更新。不要逐样本更新，也不要在同一次迭代里更新完权重后再重算偏置梯度。

共迭代 $N$ 次。$N = 0$ 时参数保持全 $0$。最后用迭代结束时的参数计算 $\mathrm{Loss}$，输出 $\mathrm{Loss} \times 10^{10}$ 四舍五入后的整数。损失非负；小数部分恰好为 $0.5$ 时向正方向进一。输出的是损失，不是梯度。

输入描述

输入共五行。

第 $1$ 行是特征集合。不同样本之间使用分号分隔，同一样本中的不同特征值使用逗号分隔。

第 $2$ 行是 CTR/CVR 标签集合。不同样本之间使用分号分隔，每个样本内部先写 CTR，再写 CVR，用逗号分隔。

第 $3$ 行是迭代次数 $N$。

第 $4$ 行是学习率 $\eta$。

第 $5$ 行是加权系数 $\alpha$。

分隔符两侧没有空格。每个样本的特征维数相同，且与第 $2$ 行的样本数一致。

输出描述

输出一个整数，即完成 $N$ 次迭代后的联合损失乘以 $10^{10}$，再四舍五入。

数据范围

• $1 \le n \le 100$，$1 \le d \le 10$
• $0 \le N \le 2000$，$N$ 为整数
• 特征、$y^{\mathrm{CTR}}$、$y^{\mathrm{CVR}}$ 的绝对值均不超过 $10$
• $0 \le \eta \le 1$，$0 \le \alpha \le 5$
• 保证损失为有限值，且答案落在 $64$ 位有符号整数范围内

样例1

输入

2
3,4
1
0.25
0.25

输出

473125000000

说明

特征矩阵只有 $1$ 个样本，特征值为 $2$，标签为 CTR $3$ 和 CVR $4$。迭代次数为 $1$，学习率为 $0.25$，加权系数为 $0.25$。

初始预测值为 $0$，因此 CTR 残差为 $-3$，CVR 残差为 $-4$。完成 $1$ 次迭代后，共享权重 $w=4$，CTR 偏置 $b_{\mathrm{CTR}}=1.5$，CVR 偏置 $b_{\mathrm{CVR}}=0.5$。最终预测为 $\hat{y}_{\mathrm{CTR}}=4\times2+1.5=9.5$， $\hat{y}_{\mathrm{CVR}}=4\times2+0.5=8.5$。

均方误差分别为 $\mathrm{MSE}_{\mathrm{CTR}}=(9.5-3)^2=42.25$， $\mathrm{MSE}_{\mathrm{CVR}}=(8.5-4)^2=20.25$。

联合损失 $\mathrm{Loss}=42.25+0.25\times20.25=47.3125$。乘以 $10^{10}$ 后四舍五入为 $473125000000$。

样例2

输入

1.5
2,3
0
0.125
0.5

输出

85000000000

说明

样本特征值为 $1.5$，CTR 目标为 $2$，CVR 目标为 $3$。迭代次数为 $0$，因此所有参数保持初始值 $w=0$，$b_{\mathrm{CTR}}=0$，$b_{\mathrm{CVR}}=0$。

最终预测为 $\hat{y}_{\mathrm{CTR}}=0\times1.5+0=0$， $\hat{y}_{\mathrm{CVR}}=0\times1.5+0=0$。

均方误差为 $\mathrm{MSE}_{\mathrm{CTR}}=(0-2)^2=4$， $\mathrm{MSE}_{\mathrm{CVR}}=(0-3)^2=9$。

联合损失 $\mathrm{Loss}=4+0.5\times9=8.5$。乘以 $10^{10}$ 后四舍五入为 $85000000000$。

样例3

输入

1,0;0,1
2,1;1,3
1
0.25
0.5

输出

11484375000

说明

特征矩阵包含 $2$ 个样本，每个样本有 $2$ 个特征。初始参数均为 $0$。

完成 $1$ 次迭代后，共享权重为 $w=[0.625,0.625]$，CTR 偏置为 $0.75$，CVR 偏置为 $0.5$。

对两个样本，最终 CTR 预测分别为 $\hat{y}_{\mathrm{CTR},1}=0.625\times1+0.625\times0+0.75=1.375$， $\hat{y}_{\mathrm{CTR},2}=0.625\times0+0.625\times1+0.75=1.375$。

CVR 预测分别为 $\hat{y}_{\mathrm{CVR},1}=0.625\times1+0.625\times0+0.5=1.125$， $\hat{y}_{\mathrm{CVR},2}=0.625\times0+0.625\times1+0.5=1.125$。

所以 $\mathrm{MSE}_{\mathrm{CTR}}=\dfrac{(1.375-2)^2+(1.375-1)^2}{2}=0.265625$， $\mathrm{MSE}_{\mathrm{CVR}}=\dfrac{(1.125-1)^2+(1.125-3)^2}{2}=1.765625$。

联合损失 $\mathrm{Loss}=0.265625+0.5\times1.765625=1.1484375$。乘以 $10^{10}$ 后四舍五入为 $11484375000$。