题目内容

某智慧农场希望根据土壤传感器数据，自动判断是否需要启动灌溉。训练数据记录了多组传感器的数值特征及其对应的灌溉需求（需要灌溉记为 1，无需灌溉记为 0）。请你利用训练数据拟合一个基于高斯分布的概率分类器，并对新的传感器数据给出灌溉决策。

分类器需要完成以下步骤：

1. 估计类别先验概率 $p_c$：$p_c = \frac{N_c}{N}$，其中 $N_c$ 为类别 $c$ 的样本数，$N$ 为总训练样本数。
2. 假设特征之间相互独立，对每个类别 $c$ 的每个特征 $j$，计算训练样本在该特征上的均值 $\mu_{c,j}$ 与方差 $\sigma_{c,j}^2$（方差使用总体方差，即分母为样本数；若某个方差为 $0$，则将其替换为 $10^{-9}$，以避免后续计算出现除零错误）。
3. 对测试样本 $x$，使用对数后验值进行分类：$$\log P(c|x) = \log p_c + \sum_j \left[ -\frac{1}{2}\log (2\pi \sigma_{c,j}^2) - \frac{(x_j - \mu_{c,j})^2}{2\sigma_{c,j}^2} \right]$$ 选取使该值最大的类别作为预测结果。