题目内容

在许多数据简化的场景中，我们希望用一个一维直线尽可能保留高维数据的信息：先将数据点投影到该直线上得到一个标量，再从标量重建出近似点，并评估重建的质量。现在给定一组参考样本和一组待评估样本，你需要通过以下步骤求出一个最优投影方向，并计算每个待评估样本的重建均方误差。\n\n1. 计算参考样本（训练集）的均值向量 $\mu$。\n2. 将参考样本去均值，得到中心化矩阵 $\tilde{X} = X_{\text{train}} - \mu$。\n3. 构造矩阵 $C = \frac{1}{n} \tilde{X}^\top \tilde{X}$，其中 $n$ 为参考样本的个数。\n4. 求出 $C$ 的所有特征值与特征向量，并选取最大特征值对应的特征向量，记为 $v$。\n 为使方向唯一，检查 $v$ 的首个非零分量（忽略绝对值小于 $10^{-12}$ 的微小分量）：若该分量为负，则将 $v$ 整体乘以 $-1$。\n5. 对每个待评估样本 $x$，计算其投影值 $z = (x - \mu)^\top v$，然后通过 $\hat{x} = \mu + z \, v$ 得到重建向量。\n6. 计算该样本的均方误差 $\text{MSE}(x) = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} (x_j - \hat{x}_j)^2$，其中 $m$ 为特征维度。\n7. 将所有待评估样本的均方误差保留两位小数（四舍五入），并以字符串形式存入一个 JSON 数组。\n\n约束条件：\n- 参考样本数量 $n \ge 2$，每个样本的特征维度 $m \ge 2$。\n- 待评估样本数量任意，但每个样本的特征维度必须与参考样本一致。\n- 所有特征值均为实数。

输入描述

标准输入仅包含一行，为一个 JSON 对象。该对象包含两个键：\n- "train"：一个二维数组，表示参考样本集，每一行是一个 $m$ 维实数特征向量，样本数 $n \ge 2$。\n- "test"：一个二维数组，表示待评估样本集，每一行是一个 $m$ 维实数特征向量，条数任意但维度与参考样本相同。

输出描述