题目内容

在天文观测中，天文学家获得了 $N$ 颗恒星的记录，每颗恒星有 $M$ 个物理特征（如温度、光度等）以及一个类型标签。为了研究恒星的演化关系，需要在一个新的特征空间中计算恒星之间的欧氏距离矩阵，使得同类恒星的投影尽量聚集，不同类恒星的投影尽量远离。

请完成以下步骤：

1. 读取恒星数据，计算每个类型的特征均值向量 $\boldsymbol{\mu}_c$ 和全部样本的全局均值 $\boldsymbol{\mu}$。
2. 计算类内差异矩阵 $\mathbf{S}_{\text{w}} = \sum_{c} \sum_{\mathbf{x} \in c} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}_c)(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}_c)^T$ 和类间差异矩阵 $\mathbf{S}_{\text{b}} = \sum_{c} N_c (\boldsymbol{\mu}_c - \boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{\mu}_c - \boldsymbol{\mu})^T$，其中 $N_c$ 为类型 $c$ 的样本数。
3. 对 $\mathbf{S}_{\text{w}}^{-1}\mathbf{S}_{\text{b}}$ 进行特征分解，将特征值从大到小排序，取前 $K = C-1$ 个最大特征值对应的特征向量构成投影矩阵 $\mathbf{P}$，其中 $C$ 为类型总数。若 $\mathbf{S}_{\text{w}}$ 奇异，则添加正则化项 $\epsilon \mathbf{I}$（$\epsilon = 10^{-6}$）以确保可逆。
4. 利用投影矩阵将原始特征映射至新空间：$\mathbf{Y} = \mathbf{X} \mathbf{P}$。
5. 在新空间中计算两两恒星之间的欧氏距离，得到 $N \times N$ 的距离矩阵 $D$，其中 $D_{ij} = \| \mathbf{y}_i - \mathbf{y}_j \|_2$。