解题思路

对于给定的正整数 $N$，我们需要选择一个严格小于 $N$ 的正整数 $M$，使得 $(N + M) \times G(N, M)$ 最大，其中 $G(N, M)$ 表示 $N$ 与 $M$ 的最大公约数。

关键观察：设 $g = G(N, M)$，则 $g$ 一定是 $N$ 的某个大于 1 的因数时才有可能获得比 $g = 1$ 更大的值。若 $g = 1$，最优的 $M = N - 1$，此时结果为 $2N - 1$。因此，我们可以把 $2N - 1$ 作为一个初始的候选答案。

算法步骤：

1. 初始化答案 $\textit{ans} = 2N - 1$，对应 $g = 1$ 的情况。