解题思路

本题要求计算所有长度为 $n$ 的灯阵的强度总和。直接模拟每个灯阵并计算难度会超时，需要寻找闭合公式。

问题分析
- 长度为 $k$ 的灯阵 $b_1b_2\dots b_k$ 的难度定义为：通过“前缀翻转”操作将其变为全 $1$ 所需的最少操作次数。
- 一个灯阵的强度定义为其所有非空连续子灯阵的难度之和。
- 我们需要对所有不同的长度为 $n$ 的灯阵（共 $2^n$ 个）求强度总和，并对 $10^9+7$ 取模。

题目内容

在一个密码学研究中，需要分析由二进制灯组成的阵列。一个长度为 $k$ 的灯阵可以表示为一个只包含 $0$ 和 $1$ 的序列 $b_1b_2\dots b_k$ ，其中 $0$ 表示熄灭， $1$ 表示点亮。

定义一次“前缀翻转”操作：选择一个位置 $i$ ( $1 \le i \le k$ )，并将前 $i$ 盏灯的状态全部翻转（ $0$ 变为 $1$ ， $1$ 变为 $0$ ）。将该灯阵变为全亮（即全部为 $1$ ）所需的最少操作次数称为该灯阵的“难度”。

定义一个灯阵的“强度”为其所有非空连续子灯阵的难度之和。

现在，你需要计算所有不同的长度为 $n$ 的灯阵的强度总和。