解题思路

这个问题可以转化为：将给定的正整数 (T) 分解为若干个大于等于 2 的整数 (K_1, K_2, \dots, K_m)，使得 (\prod K_i = T)，求 (\sum K_i) 的最小值。初始 (X = 1)，每次操作选择一个 (K \ge 2) 并支付 (K)，相当于将 (X) 乘上 (K)。总成本即所有 (K) 的和，目标乘积为 (T)。

可以证明，当 (T > 1) 时，最优的分解方式是将其完全分解为质因数，最小总成本恰好等于 (T) 的所有质因数之和（包含重复）。原因如下：若分解中出现了合数 (c = a \times b)（(a, b \ge 2)），将其替换为 (a) 和 (b) 后，成本变化为 (a + b)，而根据 ((a-1)(b-1) \ge 1) 可得 (a+b \le a \times b = c)，且等号仅在 (a=b=2) 时成立。因此不断将合数拆分为更小的因数，成本不会增加，最终会得到全部由质数组成的分解，此时总和最小。对于 (T=1)，无需任何操作，成本为 0。