解题思路

每一项校准任务的失败次数只能是 $0,1,2,3$ 之一：成功即停止；同一任务连续失败三次后下一次强制成功，因此不会超过三次失败。

设第 $i$ 项任务单次失败概率为 $p_i$ ，则

\begin{aligned} P_i(0) &= 1-p_i,\\

题目内容

实验室要依次完成 $n$ 项彼此独立的校准任务。处理第 $i$ 项任务时，每一次尝试有 $p_i$ 的概率失败、有 $1-p_i$ 的概率成功；一旦成功即完成该任务并进入下一项。同一项任务若已经连续失败三次，则下一次尝试必定成功。

全部任务完成后，设全过程的失败总次数为 $S$ 。每累计失败 3 次会产生一次熔断，因此熔断次数为 $\lfloor S/3 \rfloor$ 。

请计算熔断次数的期望。

任务数不超过 500， $p_i$ 为正实数且不超过 1（精确到小数点后 5 位）。答案的绝对误差不超过 10^{-5} 即视为正确。