题目内容

端侧 AI 模型需要根据设备采集的历史数据在线更新参数，再对新样本做预测。给定一批带质量标记的多维样本，要求先清洗数据、再做标准化，然后用带动量的批量梯度下降（含 $L_2$ 正则）训练线性回归模型，最后输出对测试样本的预测值。

数据清洗：每条样本带质量标记 $q$。$q=0$ 的样本是脏数据，直接丢弃，不参与后续任何统计与训练；$q=1$ 为有效样本。记有效样本数为 $N$。

标准化：对全部有效样本，逐维计算均值与标准差（总体标准差，即除以 $N$）：

若 $\mathrm{std}_j=0$，该维标准化后恒为 $0$；否则 $z_{i,j}=\dfrac{x_{i,j}-\mathrm{mean}_j}{\mathrm{std}_j}$。标签同样处理，得到 $\mathrm{mean}_y,\mathrm{std}_y$ 与 $\tilde{y}_i$（$\mathrm{std}_y=0$ 时 $\tilde{y}_i=0$）。训练集与测试集使用同一组统计量。

模型与目标：在标准化后的标签空间做回归 $\hat{y}_i=\sum_j w_j z_{i,j}+b$，目标为

梯度与动量更新：参数与动量缓存初值均为 $0$，每轮做一次批量更新（$t=1,2,\ldots,T$）：

$L_2$ 正则只作用于权重 $w_j$，不作用于偏置 $b$。迭代 $T$ 轮后停止。

预测：测试样本先用训练集的统计量标准化，算出 $\hat{y}=\sum_j w_j z_j+b$，再反标准化输出

$\mathrm{std}_y=0$ 时直接输出 $\mathrm{mean}_y$。所有运算使用双精度浮点。

输入描述

第一行三个整数 $n,d,m$，分别是样本条数、特征维数、测试样本条数。

第二行四个实数 $\eta,\mu,\lambda,T$，分别是学习率、动量系数、正则系数、迭代轮数（$T$ 为整数）。

接下来 $n$ 行，每行 $d+2$ 个实数，依次为质量标记 $q$、$d$ 个特征值、标签 $y$：

q f1 f2 ... fd y

接下来 $m$ 行，每行 $d$ 个实数，为一个测试样本的 $d$ 个特征值。

约束

• $1 \le n \le 2000$，$1 \le d \le 8$，$1 \le m \le 100$；
• $0 < \eta \le 1$，$0 \le \mu < 1$，$0 \le \lambda \le 1$，$1 \le T \le 500$；
• $q \in \{0,1\}$；特征值与标签均为实数，绝对值不超过 $1000$，小数位数不超过 $6$；
• 保证 $q=1$ 的样本至少有一条。

输出描述

输出 $m$ 行，第 $k$ 行为第 $k$ 个测试样本的预测值，四舍五入保留 $4$ 位小数。判定误差为 $10^{-4}$。

样例1

输入

4 1 2
0.1 0.9 0.01 2
1 1 2
1 2 4
1 3 6
0 10 100
4
1

输出

5.1196
3.4402

说明

第 4 条样本 $q=0$ 被丢弃，有效样本 $N=3$：$(1,2),(2,4),(3,6)$。

$\mathrm{mean}_x=2$，$\mathrm{std}_x=\sqrt{2/3}\approx 0.816497$；$\mathrm{mean}_y=4$，$\mathrm{std}_y=\sqrt{8/3}\approx 1.632993$。本例标签与特征线性相关，标准化后 $\tilde{y}$ 与 $z$ 相同：$(-1.224745,-1.224745)$、$(0,0)$、$(1.224745,1.224745)$。

第 1 轮：$w=b=0$，残差为 $-\tilde{y}$，$g_w=\frac{1}{3}\sum(-\tilde{y}_i z_i)+\lambda\cdot 0=-1$，$g_b=0$；$v_w=0+(-1)=-1$，$w=0-0.1\times(-1)=0.1$。

第 2 轮：残差为 $0.1z-\tilde{y}=-0.9z$，$g_w=-0.9+0.01\times 0.1=-0.899$；$v_w=0.9\times(-1)+(-0.899)=-1.799$，$w=0.1-0.1\times(-1.799)=0.2799$，$b=0$。

测试 $x=4$：$z=\frac{4-2}{0.816497}=2.449490$，$\hat{y}=0.2799\times 2.449490=0.685612$，$y=4+1.632993\times 0.685612=5.1196$。测试 $x=1$ 同理得 $4-0.5598=3.4402$。

样例2

输入

2 2 3
0.5 0.5 0.1 1
1 1 5 3
1 3 5 7
2 5
3 5
0 9

输出

5.0000
6.0000
3.0000

说明

有效样本 $N=2$。第 1 维：$\mathrm{mean}_1=2$，$\mathrm{std}_1=1$；第 2 维恒为 $5$，$\mathrm{std}_2=0$，按规则标准化后恒为 $0$，对预测没有贡献。标签：$\mathrm{mean}_y=5$，$\mathrm{std}_y=2$。

标准化后样本为 $\big(z=(-1,0),\tilde{y}=-1\big)$ 与 $\big(z=(1,0),\tilde{y}=1\big)$。

$T=1$：残差为 $(1,-1)$，$g_{w_1}=\frac{1\times(-1)+(-1)\times 1}{2}=-1$，$g_{w_2}=0$，$g_b=0$；$v_{w_1}=0.5\times 0+(-1)=-1$，$w_1=0-0.5\times(-1)=0.5$（首轮 $w_j=0$，正则项为 $0$）。

预测：$(2,5)$ 的 $z_1=0$，$\hat{y}=0$，$y=5$；$(3,5)$ 的 $z_1=1$，$\hat{y}=0.5$，$y=5+2\times 0.5=6$；$(0,9)$ 的 $z_1=\frac{0-2}{1}=-2$，第 2 维仍按训练集的 $\mathrm{std}_2=0$ 记为 $0$，$\hat{y}=-1$，$y=5+2\times(-1)=3$。