解题思路

• 核心性质：每次操作会同时改变相邻两盏灯的状态，改变亮灯数量的奇偶性？实际上，操作一次会使亮灯数量变化 $-2$、$0$ 或 $+2$，即亮灯数量的奇偶性保持不变。因此，初始字符串中灭灯（0）的个数的奇偶性决定了能否全部变亮：
  • 若灭灯个数为偶数，则最终所有灯都可以变亮（亮灯数达到最大 $n$）。
  • 若灭灯个数为奇数，则最终必定有一盏灯保持灭，其余全部变亮（亮灯数达到最大 $n-1$）。
• 操作模型：操作相邻两盏灯可以理解为将两盏灭灯“搬运”到一起，然后同时切换为亮。对于两个位置分别为 $i$ 和 $j$（$i<j$）的灭灯，将它们配对并变为亮所需的最小操作次数恰好为它们的距离 $j-i$（每一步操作相当于将一盏灭灯向另一盏靠近一步）。
• 偶数个灭灯的处理：设所有灭灯的出现位置为 $p_1 < p_2 < \dots < p_{2m}$。贪心策略是相邻配对：第 $1$ 个和第 $2$ 个配对、第 $3$ 个和第 $4$ 个配对……总操作次数为$$\sum_{k=1}^{m} (p_{2k} - p_{2k-1})$$ 这是最优解，因为任何交叉配对都不会减少总距离。