题目内容

某接口网关用逻辑回归判断一次调用会不会超时。每条调用有 $d$ 个特征，标签 $y = 1$ 表示超时，$y = 0$ 表示未超时。请用批量梯度下降训练模型，再计算若干次新调用的超时概率。

模型参数是权重 $w_1, w_2, \ldots, w_d$ 和偏置 $b$。对特征 $x_1, x_2, \ldots, x_d$，先算线性部分，再过 sigmoid：

$z = w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_d x_d + b$

$p = \dfrac{1}{1 + e^{-z}}$

权重和偏置从输入给出的初值开始，共训练 $T$ 轮。每一轮都用这一轮开始时的参数，先算出全部 $n$ 条训练样本的概率 $p_i$，再计算梯度

$g_j = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (p_i - y_i) \, x_{i,j} + \lambda w_j$

$g_b = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (p_i - y_i)$

其中 $j = 1, 2, \ldots, d$。$\lambda w_j$ 只加在权重上，偏置不加。然后用学习率 $\alpha$ 同时更新，更新时仍用本轮开始时的参数：

$w_j \leftarrow w_j - \alpha g_j$

$b \leftarrow b - \alpha g_b$

训练过程中不取整。训练结束后，对每条查询用最终的 $w$ 和 $b$ 计算 $p$，再保留四位小数：小数部分小于 $0.5$ 则直接丢掉，大于或等于 $0.5$ 则向绝对值更大的方向进 $1$。

输入描述

第一行三个整数 $n$、$d$、$T$。$n$ 是训练样本数，$d$ 是特征个数，$T$ 是训练轮数。

第二行两个实数 $\alpha$、$\lambda$，依次是学习率和权重惩罚系数。

第三行 $d + 1$ 个实数，依次是 $w_1, w_2, \ldots, w_d$ 和 $b$ 的初值。

接下来 $n$ 行，每行 $d$ 个实数特征和一个整数 $y_i$。

接下来一行一个整数 $m$，表示查询条数。

接下来 $m$ 行，每行 $d$ 个实数，是一条查询的特征。

约束

$1 \le n \le 200$

$1 \le d \le 5$

$1 \le T \le 20$

$1 \le m \le 200$

$0 \le \alpha \le 1$

$0 \le \lambda \le 1$

训练特征、查询特征、权重初值和偏置初值的绝对值均不超过 $10$

$y_i \in \{0, 1\}$

输出描述

输出 $m$ 行。第 $k$ 行是第 $k$ 条查询的超时概率，恰好保留四位小数。

样例1

输入

2 1 1
1 0
0 0
2 1
0 1
2
0
2

输出

0.6225
0.8176

说明

初值 $w_1 = 0$，$b = 0$，$\lambda = 0$，只训练一轮。两条样本的 $z$ 都是 $0$，所以 $p_1 = p_2 = 0.5$。

$g_1 = \dfrac{(0.5 - 1) \cdot 2 + (0.5 - 1) \cdot 0}{2} = -0.5$

$g_b = \dfrac{(0.5 - 1) + (0.5 - 1)}{2} = -0.5$

更新后 $w_1 = 0.5$，$b = 0.5$。

查询 $0$：$z = 0.5$，$p = 1 / (1 + e^{-0.5}) = 0.622459\ldots$，保留四位小数为 $0.6225$。

查询 $2$：$z = 1.5$，$p = 1 / (1 + e^{-1.5}) = 0.817574\ldots$，保留四位小数为 $0.8176$。

样例2

输入

1 1 1
1 0.5
1 0
0 1
1
2

输出

0.8176

说明

初值 $w_1 = 1$，$b = 0$，$\lambda = 0.5$。样本特征是 $0$，标签是 $1$，所以 $z = 0$，$p_1 = 0.5$。

$g_1 = (0.5 - 1) \cdot 0 + 0.5 \cdot 1 = 0.5$

$g_b = 0.5 - 1 = -0.5$

偏置不加 $\lambda b$。更新后 $w_1 = 0.5$，$b = 0.5$。

查询 $2$：$z = 1.5$，概率保留四位小数为 $0.8176$。