解题思路

1. 题目已经给出了逻辑回归的模型、初始化方式、梯度公式和参数更新公式，因此需要按公式模拟批量梯度下降。
2. 每一轮迭代都要先基于当前的 $w_1,w_2,b$ 计算所有样本的预测值 $\hat y$，累加得到 $dw_1,dw_2,db$，再统一除以 $N$。
3. 注意这是 Batch Gradient Descent，同一轮中不能边遍历样本边立即更新参数，否则会变成随机梯度下降，结果会不同。
4. 最后使用迭代 $E$ 次后的参数计算新样本的 $z$ 和 sigmoid 值，并按题目要求保留 $4$ 位小数。
5. 当 $z$ 的绝对值很大时，直接计算 $\exp(-z)$ 可能溢出。可以对 sigmoid 分情况计算：若 $z \ge 0$，使用 $\frac{1}{1+\exp(-z)}$；否则使用 $\frac{\exp(z)}{1+\exp(z)}$。

复杂度分析

题目内容

华为的通信工程师需要对部署在户外的5G基站进行实时健康监控。现收集到一批基站的历史运行数据，包含两个关键指标：设备工作温度（特征$x_1$）和天线负载系数（特征$x_2$），以及该基站是否发生故障的标签（**$y = 1$表示故障，$y = 0$**表示正常）。

为了在边缘服务器上实现轻量级的实时预测，请你使用逻辑回归（Logistic Regression）结合批量梯度下降法（Batch Gradient Descent），从零开始训练一个故障预警模型，并预测新基站的故障概率。

模型公式与更新规则如下：

1. 预测函数：对输入特征应用sigmoid激活函数：

$z = w_1 x_1 + w_2 x_2 + b$

$\hat{y} = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

2. 参数初始化：所有权重和偏置初始值均设为0（即$w_1 = 0$，$w_2 = 0$，$b = 0$）。

3. 梯度计算：在每次迭代（Epoch）中，基于全体$N$个训练样本计算损失函数对各个参数的偏导数：

$dw_1 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\hat{y}_i - y_i) x_{1i}$

$dw_2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\hat{y}_i - y_i) x_{2i}$

$db = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\hat{y}_i - y_i)$

4. 参数更新：使用学习率$\alpha$进行参数更新：

$w_1 = w_1 - \alpha \cdot dw_1$

$w_2 = w_2 - \alpha \cdot dw_2$

$b = b - \alpha \cdot db$

请严格按照上述步骤，迭代$E$次后，输出给定新样本的预测故障概率。

（注：请统一使用64位双精度浮点数double或float64进行运算，以保证精度要求）

输入描述

所有数据通过标准输入读取，数值之间由一个或多个空格分隔。

• 第一行：三个数值，分别为训练样本数 $N$（整数）、迭代次数 $E$（整数）和学习率 $\alpha$（浮点数）。
• 第 2 到第 $N+1$ 行：每行三个数值，分别为 $x_1$，$x_2$（浮点数）和标签 $y$（整数 0 或 1）。
• 最后一行：两个数值，分别为待预测新样本的特征 $x_{1\_new}$ 和 $x_{2\_new}$（浮点数）。

参数范围约束：

• $1 \leq N \leq 1000$
• $1 \leq E \leq 1000$
• $0.001 \leq \alpha \leq 1.0$
• $-100.0 \leq x_1, x_2, x_{1\_new}, x_{2\_new} \leq 100.0$

输出描述

• 输出一行，包含一个浮点数，表示新样本发生故障的预测概率。
• 要求四舍五入保留到小数点后 4 位（例如：$0.5312$）。

补充说明

样例1

输入

1 2 0.5
2.0 0.0 1
2.0 0.0

输出

0.8590

说明

样例2

输入

2 1 0.1
1.0 2.0 1
-1.0 -2.0 0
0.5 1.0

输出

0.5312

说明

初始化：$w_1 = 0, w_2 = 0, b = 0$。 第1次迭代计算： 样本1 ($y = 1$)：$z_1 = 0 \rightarrow \hat{y}_1 = 0.5$。误差 $= 0.5 - 1 = -0.5$ 样本2 ($y = 0$)：$z_2 = 0 \rightarrow \hat{y}_2 = 0.5$。误差 $= 0.5 - 0 = 0.5$ 计算梯度： $dw_1 = ((-0.5 \times 1.0) + (0.5 \times -1.0))/2 = -0.5$ $dw_2 = ((-0.5 \times 2.0) + (0.5 \times -2.0))/2 = -1.0$ $db = (-0.5 + 0.5)/2 = 0.0$ 参数更新： $w_1 = 0 - 0.1 \times (-0.5) = 0.05$ $w_2 = 0 - 0.1 \times (-1.0) = 0.1$ $b = 0 - 0.1 \times 0.0 = 0.0$ 预测新样本：$z = 0.05 \times 0.5 + 0.1 \times 1.0 + 0 = 0.125$ $Probability = \frac{1}{1+e^{-0.125}} \approx 0.531209 \rightarrow 0.5312$