给定一个大小为 n×n 的二维矩阵,计算从起点 (1,1) 到终点 (n,n) 的所有可能路径的数量。每一步可以向右或向下移动一个格子。
输入包含一个整数 n,表示矩阵的大小。 1<=n<=17
输出一个整数,表示从 (1,1) 到 (n,n) 的路径总数。
输入
3
输出
6
在 3×3 的矩阵中,从 (1,1) 到 (3,3) 的路径共有 6 种可能。
这是一个典型的组合数学与动态规划相结合的问题。我们需要计算从起点 (1,1) 到终点 (n,n) 的所有可能路径的数量,每一步只能向右或向下移动一个格子。通过分析小规模的情况,我们可以总结出适用于任意 n 的递推关系,从而高效地解决问题。
对于 n=3,即一个 3×3 的矩阵,从起点 (1,1) 到终点 (3,3) 的所有可能路径如下(共6种):
将这些方案的集合定义为 D3,那么集合的大小 ∣D3∣=6就是问题的答案。
考虑到达终点 (3,3) 的方式,可以从两种途径到达:
根据这两种情况,我们可以将集合 D3 分为两部分:
通过集合的划分可以观察到:
D3,(3,2)→(3,3):将最后的 (3,3) 去掉,得到的方案等价于从 (1,1) 到 (3,2) 的所有方案,即 ∣D3,(3,2)→(3,3)∣=∣D3,2∣。
D3,(2,3)→(3,3):将最后的 (3,3) 去掉,得到的方案等价于从 (1,1) 到 (2,3) 的所有方案,即 ∣D3,(2,3)→(3,3)∣=∣D2,3∣。
由于从 (1,1) 到 (3,2) 和 (2,3) 的路径数分别等于从 (1,1) 到 (2,2) 和 (1,1) 到 (1,3) 的路径数,我们可以进一步简化。
通过上述分析,可以得出递推关系:
∣Di,j∣=∣Di−1,j∣+∣Di,j−1∣其中,Di,j 表示从起点 (1,1) 到达位置 (i,j) 的路径总数。
对于任意 n×n 的矩阵,定义 D[i][j]表示从 (1,1) 到达 (i,j) 的路径总数。根据递推关系,我们有:
D[i][j]=D[i−1][j]+D[i][j−1]这意味着,到达 (i,j) 的路径数等于从上方 (i−1,j) 到达该点的路径数加上从左方 (i,j−1) 到达该点的路径数。
在动态规划中,需要明确边界条件来初始化状态转移:
起点 (1,1) 的路径数:只能停留在起点,因此 D[1][1]=1。
第一行和第一列的路径数:
状态定义:
D[i][j] 表示从起点 (1,1) 到达位置 (i,j) 的路径总数。
状态转移方程:
D[i][j]=D[i−1][j]+D[i,j−1]边界条件:
通过动态规划的方法,我们可以高效地计算出从起点到终点的所有可能路径数。
n = int(input()) # 读取输入的整数n,表示网格的大小(n x n)
# 初始化二维动态规划数组dp,大小为n x n,所有元素初始为0
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
dp[0][0] = 1 # 设置起点dp[0][0]为1,表示从起点到起点有1种路径
# 遍历每一个网格单元
for i in range(n):
for j in range(n):
if i > 0:
dp[i][j] += dp[i - 1][j] # 如果不是第一行,则可以从上方单元到达当前单元
if j > 0:
dp[i][j] += dp[i][j - 1] # 如果不是第一列,则可以从左侧单元到达当前单元
print(dp[n - 1][n - 1]) # 输出从起点(0,0)到终点(n-1,n-1)的路径总数