思路与证明

设给定多项式

P(x)=\prod_{i=1}^{n}\bigl(x+a_i\bigr),

其中每个 $a_i \in \{\pm1,\pm2,\dots,\pm9\}$ （将 $(x-d)$ 视为 $x+(-d)$ ）。

题目内容

牛牛给出了一个关于未知量 $x$ 的多项式。这个多项式以字符串的形式表示，它由若干个形如 $(x−d)$ 或 $(x+d)$ 的括号表达式相乘构成，其中 $d$ 是一个 $1$ 到 $9$ 之间的数字字符。

牛牛想知道，当这个多项式完全展开后， $x$ 的一次项（即 $x^1$ 项）的系数是多少？

请计算这个系数，由于答案可能很大，请将答案对 $10007$ 取模后输出。