题解思路

• 设 $a_i = x \cdot c_i$，则条件转化为：

  • $\forall i \neq j,$ $\text{lcm}(c_i, c_j)$ = $\text{lcm}(i, j)$
  • $\forall i, c_i \neq i$

• 通过分析质因数指数发现：当 $n \geq 3$ 时，必须满足 $c_i = i$ 对所有 $i$ 成立（否则存在矛盾），但这违反了 $c_i \neq i$ 的要求。因此，当 $n \geq 3$ 时无解。

• 当 $n = 2$ 时，可以构造 $c_1 = 2, c_2 = 1$（或交换），即 $a_1 = 2x, a_2 = x$，此时满足：